Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Eulerova rovnost|700}}
+
'''Eulerova rovnost''' (také '''Eulerova identita''') je základní vzorec [[komplexní analýza|komplexní analýzy]]. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<math>e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]).
 +
== Znění ==
 +
Eulerova rovnost je vzorec <math>e^{i\pi}+1=0</math> , kde
 +
* ''e'' je [[Eulerovo číslo]]
 +
* ''i'' je [[imaginární jednotka]]
 +
* ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]]
 +
 +
== Elegantnost vyjádření ==
 +
Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní [[aritmetika|aritmetické]] [[Operace (matematika)|operace]] ([[součet]], [[součin]] a [[mocnina]]) s pěti základními analytickými [[konstanta]]mi ([[Eulerovo číslo|e]], [[Imaginární jednotka|i]], [[pí (číslo)|π]], [[Nula|0]], [[1 (číslo)|1]]). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.
 +
 +
== Odvození ==
 +
[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]]
 +
Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]], který říká
 +
 +
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
 +
 +
pro každé [[reálné číslo]] ''x''. Speciálně pro
 +
 +
: <math>x = \pi,\,\!</math>
 +
 +
dostaneme
 +
 +
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
 +
 +
Protože
 +
 +
:<math>\cos \pi = -1  \, \! </math>
 +
 +
a
 +
 +
:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>
 +
 +
vyplývá odtud
 +
 +
: <math>e^{i \pi} = -1\,\!</math>
 +
 +
a převedením na druhou stranu
 +
 +
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
 +
 +
== Zobecnění ==
 +
Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech ''n''-tých odmocnin z jedné je nulový pro ''n''&nbsp;>&nbsp;1:
 +
:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>
 +
Eulerova rovnost vznikne dosazením ''n = 2''.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Komplexní analýza]]
 +
* [[Eulerův vzorec]]
 +
* [[Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Verze z 30. 7. 2014, 19:55

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<math>e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Obsah

Znění

Eulerova rovnost je vzorec <math>e^{i\pi}+1=0</math> , kde

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

<math>x = \pi,\,\!</math>

dostaneme

<math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>

Protože

<math>\cos \pi = -1 \, \! </math>

a

<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>

vyplývá odtud

<math>e^{i \pi} = -1\,\!</math>

a převedením na druhou stranu

<math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Eulerova_rovnost“