Interpolace

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Interpolace|700}}
+
'''Interpolace''' ([[latina|lat]]. ''inter-polare'', vylepšit vkládáním) v [[numerická matematika|numerické matematice]] znamená nalezení přibližné hodnoty [[funkce]] v nějakém [[interval]]u, je-li její hodnota známa jen v některých jiných bodech tohoto intervalu. Používá se v případě, že hodnoty funkce v určitých bodech intervalu jsou buďto uvedeny v tabulce, anebo získány měřením.
 +
Podobného původu je i slovo '''extrapolace''', které označuje nalézání přibližné hodnoty funkce '''''mimo''''' interval známých hodnot, což je méně spolehlivé. Užívá se nejčastěji pro odhady tendencí do budoucnosti, například cen v ekonomii.
 +
 +
Od [[aproximace]] se interpolace liší tím, že hledaná křivka přesně prochází všemi známými (změřenými) body.
 +
[[Soubor: Interpolation Data.png|thumb|220px| Sedm bodů k interpolaci {{Malé|(Zadání)}} ]]
 +
 +
== Definice ==
 +
[[Soubor: Interpolation example polynomial.png|thumb|220px| Interpolace polynomem 6. stupně ]]
 +
Mějme funkci f(x), jejíž hodnota je známa v bodech <math>f(x_0)</math>, <math>f(x_1)</math>, ... <math>f(x_n)</math>. Interpolace znamená nalezení funkční hodnoty <math>f(x)</math>, pokud platí, že <math>x_0</math> < <math>x</math> < <math>x_n</math>.
 +
 +
== Interpolační křivka ==
 +
Někdy se interpolací rozumí proložení bodů <math>f(x_0)</math>, <math>f(x_1)</math>, ... <math>f(x_n)</math> analytickou křivkou, která pak umožňuje jednoduchý výpočet funkčních hodnot ve všech mezilehlých bodech. Podle počtu známých bodů n se pak nejčastěji používá:
 +
* pro n = 2 lineární interpolace (přímkou)
 +
* pro n = 3 kvadratická interpolace (parabolou nebo kružnicí)
 +
* pro n > 3 interpolace [[polynom]]em n-tého stupně; pro výpočet [[koeficient]]ů tohoto polynomu se nejčastěji požívá Čebyševova metoda.
 +
 +
[[Soubor: Interpolation example linear.png|thumb|220px| Lineární interpolace {{Malé|(Od bodu k bodu)}} ]]
 +
== Lineární interpolace ==
 +
Nejjednodušší a nejčastěji používaná lineární interpolace (někdy také interpolace lineárním [[splajn]]em) spočívá v proložení dvou sousedních bodů přímkou; zavedl ji [[Isaac Newton]]. (Nezaměňovat s [[Newtonova interpolace|Newtonovou interpolací]])
 +
 +
Pro
 +
<math>x_0</math> < <math>x_i</math> < <math>x_1</math>
 +
platí, že
 +
<math>f(x) = f_0 + {{f_1-f_0}\over{x_1-x_0}}\,(x-x_0)</math>.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Lagrangeova interpolace]]
 +
* [[Newtonova interpolace]]
 +
* [[Aproximace]]
 +
* [[Geometrie]]
 +
* [[Geometrie#Modelování křivek|Modelování křivek]]
 +
* [[Křivka]]
 +
* [[Numerická matematika]]
 +
* [[Taylorova řada]]
 +
 +
== Literatura ==
 +
* ''Stručný statistický slovník''. Praha 1967, heslo Interpolace, str. 82
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://www.dr-mikes-maths.com/DotPlacer.html DotPlacer: applet s různými interpolacemi]
 +
 +
 +
{{Commonscat|Interpolation}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Aplikovaná matematika]]
[[Kategorie:Aplikovaná matematika]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Verze z 11. 9. 2014, 07:13

Interpolace (lat. inter-polare, vylepšit vkládáním) v numerické matematice znamená nalezení přibližné hodnoty funkce v nějakém intervalu, je-li její hodnota známa jen v některých jiných bodech tohoto intervalu. Používá se v případě, že hodnoty funkce v určitých bodech intervalu jsou buďto uvedeny v tabulce, anebo získány měřením.

Podobného původu je i slovo extrapolace, které označuje nalézání přibližné hodnoty funkce mimo interval známých hodnot, což je méně spolehlivé. Užívá se nejčastěji pro odhady tendencí do budoucnosti, například cen v ekonomii.

Od aproximace se interpolace liší tím, že hledaná křivka přesně prochází všemi známými (změřenými) body.

Sedm bodů k interpolaci (Zadání)

Obsah

Definice

Interpolace polynomem 6. stupně

Mějme funkci f(x), jejíž hodnota je známa v bodech <math>f(x_0)</math>, <math>f(x_1)</math>, ... <math>f(x_n)</math>. Interpolace znamená nalezení funkční hodnoty <math>f(x)</math>, pokud platí, že <math>x_0</math> < <math>x</math> < <math>x_n</math>.

Interpolační křivka

Někdy se interpolací rozumí proložení bodů <math>f(x_0)</math>, <math>f(x_1)</math>, ... <math>f(x_n)</math> analytickou křivkou, která pak umožňuje jednoduchý výpočet funkčních hodnot ve všech mezilehlých bodech. Podle počtu známých bodů n se pak nejčastěji používá:

  • pro n = 2 lineární interpolace (přímkou)
  • pro n = 3 kvadratická interpolace (parabolou nebo kružnicí)
  • pro n > 3 interpolace polynomem n-tého stupně; pro výpočet koeficientů tohoto polynomu se nejčastěji požívá Čebyševova metoda.
Lineární interpolace (Od bodu k bodu)

Lineární interpolace

Nejjednodušší a nejčastěji používaná lineární interpolace (někdy také interpolace lineárním splajnem) spočívá v proložení dvou sousedních bodů přímkou; zavedl ji Isaac Newton. (Nezaměňovat s Newtonovou interpolací)

Pro <math>x_0</math> < <math>x_i</math> < <math>x_1</math> platí, že <math>f(x) = f_0 + {{f_1-f_0}\over{x_1-x_0}}\,(x-x_0)</math>.

Související články

Literatura

  • Stručný statistický slovník. Praha 1967, heslo Interpolace, str. 82

Externí odkazy


Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Interpolace
Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Interpolace“