Per partes

Z Multimediaexpo.cz

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)

Druhý vztah získáme pouhou záměnou \(u \leftrightarrow v\).

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

• \(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\), kde bylo použito \(u = x, v^\prime = \cos x\)
• Pro nalezení \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\) položíme \(u = x^2, v^\prime = \sin x\), takže dostaneme \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\). Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme \(u = x, v^\prime = \cos x\), tzn. \(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\). Dosazením pak získáme konečný výsledek \(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)

Související články

• Integrál
• Derivace
• Substituční metoda

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii