Diferenciální rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Diferenciální rovnice je matematická rovnice, ve které jako proměnné vystupují derivace funkcí. Diferenciální rovnice stojí v základech fyziky a jejich aplikace najdeme ve většině oblastí lidského vědění.

Matematická teorie diferenciálních rovnic se zabývá existencí řešení, jednoznačností (čili zda je řešení jen jedno), závislostí řešení na počátečních a okrajových podmínkách.

Ve fyzice a dalších aplikacích je zajímavé zejména získání analytického řešení, tedy funkce u(t), která rovnici řeší. Pokud taková funkce nejde analyticky vyjádřit, vstupuje do hry numerické řešení diferenciálních rovnic.

Obsah 1 Typy diferenciálních rovnic 2 Řešení rovnice 3 Příklad 3.1 Řešení příkladu 4 Související články 5 Externí odkazy

Typy diferenciálních rovnic

Základní dělení diferenciálních rovnic je podle typu obsažených derivací:

• Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): obsahují derivace hledané funkce jen podle jedné proměnné.
• Parciální diferenciální rovnice (PDR): obsahují derivace hledané funkce podle více proměnných, tedy parciální derivace.

Pokud je dáno <math>m</math> diferenciálních rovnic pro <math>n</math> neznámých funkcí, pak hovoříme o soustavě diferenciálních rovnic.

Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která je v ní obsažená. Za řád soustavy diferenciálních rovnic považujeme hodnotu nejvyšší derivace, která se v soustavě vyskytuje. Podle řádu bývají diferenciální rovnice děleny na diferenciální rovnice prvního řádu a diferenciální rovnice vyšších řádů.

Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně, přičemž se nikde nevyskytují ani součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako lineární diferenciální rovnice. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o nelineárních diferenciálních rovnicích.

Řešení rovnice

Za řešení (integrál) diferenciální rovnice (v daném oboru) považujeme každou funkci, která má příslušné derivace a vyhovuje dané diferenciální rovnici. Řešením (integrálem) soustavy diferenciálních rovnic je množina funkcí s derivacemi potřebného řádu, které vyhovují všem rovnicím dané soustavy.

Řešení diferenciálních rovnic dělíme na

• obecné - Jako obecné řešení označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje libovolnou integrační konstantu. Přiřadíme-li každé konstantě obecného řešení určitou číselnou hodnotu, získáme řešení partikulární.
• partikulární (částečné) - Partikulární (částečné) řešení je řešení diferenciální rovnice, které získáme přiřazením určité číselné hodnoty každé integrační konstantě obecného řešení.
• singulární (výjimečné) - Některá řešení nelze získat z obecného řešení. Taková řešení, která se vyskytují pouze u některých rovnic, popř. v některých bodech oboru, označujeme jako singulární nebo výjimečná.

Partikulární řešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší numericky.

Příklad

Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem, ubývá z ní teplo rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu mezi teplotou čaje <math>T</math> a teplotou v místnosti <math>T_0</math> (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme <math>k</math>. Máme tedy diferenciální rovnici

<math>\frac{dT}{dt} = k(T_0-T)</math>

a chceme najít všechny funkce <math>T(t)</math> (závislost teploty na čase), které ji splňují.

Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu

Řešení příkladu

<math>dT</math> lze chápat jako diferenciál, tedy funkci dvou proměnných <math>dT(t,dt) = dtT'(t)\,\!</math>. Zlomek <math>\frac{dT}{dt}\,\!</math> v tomto významu se rovná derivaci <math>T</math> podle <math>t</math> (proto se derivace takto značí). Díky tomu lze uvedenou rovnici upravit:

<math>dT = -k(T-T_0)dt \,\!</math>

<math>\frac{dT}{T-T_0} = -kdt \,\!</math>

Strany rovnice se rovnají, právě když se rovnají jejich neurčité integrály (rozdíl obou integračních konstant označme <math>c\,\!</math>).

<math>\int\frac{1}{T-T_0}dT = c \,-\,\int kdt \,\!</math>

Vypočtením těchto integrálů obdržíme

<math>\ln |T-T_0| = c - kt \,\!</math>

Strany se rovnají, právě když se rovnají jejich exponenciály. Pro názornost předpokládejme <math>T>T_0</math>:

<math>e^{\ln(T-T_0)} = e^{c - kt} \,\!</math>

To lze upravit na

<math> T = T_0 \,+\, e^c \,\, e^{- kt} \,\!</math>

Tato diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, přičemž různé hodnoty c odpovídají různým funkcím T(t), které popisují chladnutí čaje s různou počáteční teplotou.

Související články

• Diferenciální počet
• Integrální rovnice

Externí odkazy

• MAW – matematické výpočty online umožňuje online řešení diferenciálních rovnic, včetně zobrazení postupu (separovatelné DR, lineární DR prvního a druhého řádu).

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Diferenciální rovnice

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii