Substituce (matematika)
Z Multimediaexpo.cz
Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). [1]
Obsah |
Ukázky řešení příkladu
Exponenciální rovnice
Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:
- \(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
- Zavedeme substituci \(a = 2^{x}</math>:
\(a^{2} + a - 6 = 0</math> - Vypočítáme kvadratickou rovnici:
\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math>
\(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math>
\(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math> - Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
- \(2 = 2^x</math>
- \(-3 = 2^x</math>
- Vyřešíme obě rovnice:
- \(2 = 2^x</math>
- Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2</math> se dá napsat jako \(2^1</math>:
\(2^1 = 2^x</math> - \(1 = x</math>
- Výsledek je:
\(x = 1</math>
Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
- Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2</math> se dá napsat jako \(2^1</math>:
- \(-3 = 2^x</math>
Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
- \(2 = 2^x</math>
Goniometrická rovnice
Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:
- \((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
- Zavedeme substituci \(a = \sin x</math>:
\(a^{2} + 2a - 3 = 0</math> - Vypočítáme kvadratickou rovnici:
\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math>
\(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math>
\(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math> - Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
- \(\sin x = 1</math>
- \(\sin x = -3</math>
- Vyřešíme obě rovnice:
- \(\sin x = 1</math>
\(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math> - \(\sin x = -3</math>
\(x = \phi</math>
Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.
- \(\sin x = 1</math>
Související články
Reference
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |