Faktoriál

Z Multimediaexpo.cz

V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné a 1 pokud n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.

<math>n</math> <math>n!</math>
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,041 409 32… × 1064
70 1,197 857 17… × 10100
100 9.3326215444×10157
171 1.2410180702×10309
450 1,733 368 73… × 101 000
1,000 4.0238726008 × 102,567
3 249 6,412 337 68… × 1010 000
25 206 1,205 703 438… × 10100 000
47 176 8,448 573 149 5… × 10200 001
100 000 2,824 229 407 9… × 10456 573
200 000 1,420 225 345 47… × 10973 350
205,023 2.5038989317 × 101,000,004
300 000 1,477 391 531 738… × 101 512 851
1 000 000 8,263 931 688 3… × 105 565 708
1.0248383838×1098 101.0000000000×10100
1×10100 109.9565705518×10101
1.7976931349×10308 105.5336665775×10310

Obsah

Definice

Faktoriál je formálně definován takto:

<math>n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0</math>

Například:

<math>5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>

Jako speciální případ prázdného součinu platí, že

<math>0! = 1</math>

Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:

<math>z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</math>

Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro <math>\operatorname{Re}\, z > -1</math>, lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …

Využití

Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.

Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:

<math>{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>

Vlastnosti

Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:

<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

Dvojitý faktoriál, multifaktoriál

Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako

<math>n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.</math>

Například <math>8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384</math>,nebo <math>9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945</math>.

Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …

I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.

<math>\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</math>

Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).

Související články

Externí odkazy


Flickr.com nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Faktoriál
Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Faktori%C3%A1l“