Faktoriál
Z Multimediaexpo.cz
V matematice je faktoriál čísla n (značeno pomocí vykřičníku: n!) číslo, rovné součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných n, pokud je n kladné a 1 pokud n = 0. Značení n! vyslovujeme jako „n faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.
| \(n</math> | \(n!</math> |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
| 25 | 15 511 210 043 330 985 984 000 000 |
| 50 | 3,041 409 32… × 1064 |
| 70 | 1,197 857 17… × 10100 |
| 100 | 9.3326215444×10157 |
| 171 | 1.2410180702×10309 |
| 450 | 1,733 368 73… × 101 000 |
| 1,000 | 4.0238726008 × 102,567 |
| 3 249 | 6,412 337 68… × 1010 000 |
| 25 206 | 1,205 703 438… × 10100 000 |
| 47 176 | 8,448 573 149 5… × 10200 001 |
| 100 000 | 2,824 229 407 9… × 10456 573 |
| 200 000 | 1,420 225 345 47… × 10973 350 |
| 205,023 | 2.5038989317 × 101,000,004 |
| 300 000 | 1,477 391 531 738… × 101 512 851 |
| 1 000 000 | 8,263 931 688 3… × 105 565 708 |
| 1.0248383838×1098 | 101.0000000000×10100 |
| 1×10100 | 109.9565705518×10101 |
| 1.7976931349×10308 | 105.5336665775×10310 |
Obsah |
Definice
Faktoriál je formálně definován takto:
- \(n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0</math>
Například:
- \(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>
Jako speciální případ prázdného součinu platí, že
- \(0! = 1</math>
Zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel je gama funkce, používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve statistice:
- \(z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</math>
Ačkoliv uvedený integrál konverguje pouze pro \(\operatorname{Re}\, z > -1</math>, lze zobecněný faktoriál holomorfně rozšířit na celou komplexní rovinu kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).
Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
- 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …
Využití
Faktoriály se hojně vyskytují v kombinatorice. Faktoriál čísla n udává počet permutací množiny n prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit n různých objektů.
Pomocí faktoriálů lze také spočítat kombinační číslo:
- \({n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>
Vlastnosti
Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká n lze vypočítat Stirlingovým vzorcem:
- \(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
Dvojitý faktoriál, multifaktoriál
Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také dvojitý faktoriál, značený n!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako
- \(n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.</math>
Například \(8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384</math>,nebo \(9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945</math>.
Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …
I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.
- \(\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</math>
Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) multifaktoriály n!!!, n!!!! atd. (obecně n!(k)).
Související články
Externí odkazy
- Faktoriál v encyklopedii MathWorld
- Online výpočet faktoriálu až 40000! na všechna platná místa
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |