Neutrální prvek
Z Multimediaexpo.cz
V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací \(\otimes</math> takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.
V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např \(\cdot</math>, je e často nazýván jednotkovým prvkem \((1 \cdot x = x)</math>. V případě použití aditivního značení, např. \(+</math>, je e často nazýván nulovým prvkem \((0 + x = x)\!</math>. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.
Obsah |
Příklady
- Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
- Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
- Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
- Pokud \((A,\ \otimes)</math> jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
- Pokud \((A,\ \otimes)</math> je množina všech zobrazení z množiny \(M\,</math> do sebe sama a \(\otimes</math> je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná \(\forall x \in M : id(x) = x</math>.
- Pokud má \(A\,</math> pouze dva prvky \(e\,</math> a \(f\,</math> a operace \(\otimes</math> je definována tak, že \(e \otimes e = f \otimes e = e</math> a \(f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky \(e\,</math> a \(f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
Jak ukazuje poslední příklad, \((A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny \(A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině \(A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.[pozn 1]
Formální definice
Buď \(A\,</math> množina a \(\otimes</math> operace na \(A\,</math>.
- Prvek \(e\in A\,</math> se nazývá levý neutrální, právě když \(\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
- Prvek \(e\in A\,</math> se nazývá pravý neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
- Prvek \(e\in A\,</math> se nazývá neutrální, právě když \(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.
| Struktury s jednou binární operací | |||
|---|---|---|---|
| Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | |
| Grupa |  | |
|
| Monoid | | | 
|
| Pologrupa | | |
|
| Lupa | | |
|
| Kvazigrupa | | |
|
| Grupoid | | |
|
Související články
Poznámky
- ↑ Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak \(l = l \otimes r = r</math>. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.</li></ol>
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |