Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Diferenciální rovnice
Z Multimediaexpo.cz
Diferenciální rovnice je matematická rovnice, ve které jako proměnné vystupují derivace funkcí. Diferenciální rovnice stojí v základech fyziky a jejich aplikace najdeme ve většině oblastí lidského vědění.
Matematická teorie diferenciálních rovnic se zabývá existencí řešení, jednoznačností (čili zda je řešení jen jedno), závislostí řešení na počátečních a okrajových podmínkách.
Ve fyzice a dalších aplikacích je zajímavé zejména získání analytického řešení, tedy funkce u(t), která rovnici řeší. Pokud taková funkce nejde analyticky vyjádřit, vstupuje do hry numerické řešení diferenciálních rovnic.
Obsah |
Typy diferenciálních rovnic
Základní dělení diferenciálních rovnic je podle typu obsažených derivací:
- Obyčejné diferenciální rovnice (ODR): obsahují derivace hledané funkce jen podle jedné proměnné.
- Parciální diferenciální rovnice (PDR): obsahují derivace hledané funkce podle více proměnných, tedy parciální derivace.
Pokud je dáno \(m</math> diferenciálních rovnic pro \(n</math> neznámých funkcí, pak hovoříme o soustavě diferenciálních rovnic.
Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která je v ní obsažená. Za řád soustavy diferenciálních rovnic považujeme hodnotu nejvyšší derivace, která se v soustavě vyskytuje. Podle řádu bývají diferenciální rovnice děleny na diferenciální rovnice prvního řádu a diferenciální rovnice vyšších řádů.
Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze lineárně, přičemž se nikde nevyskytují ani součiny hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako lineární diferenciální rovnice. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o nelineárních diferenciálních rovnicích.
Řešení rovnice
Za řešení (integrál) diferenciální rovnice (v daném oboru) považujeme každou funkci, která má příslušné derivace a vyhovuje dané diferenciální rovnici. Řešením (integrálem) soustavy diferenciálních rovnic je množina funkcí s derivacemi potřebného řádu, které vyhovují všem rovnicím dané soustavy.
- Řešení diferenciálních rovnic dělíme na
- obecné - Jako obecné řešení označujeme takové řešení diferenciální rovnice, které obsahuje libovolnou integrační konstantu. Přiřadíme-li každé konstantě obecného řešení určitou číselnou hodnotu, získáme řešení partikulární.
- partikulární (částečné) - Partikulární (částečné) řešení je řešení diferenciální rovnice, které získáme přiřazením určité číselné hodnoty každé integrační konstantě obecného řešení.
- singulární (výjimečné) - Některá řešení nelze získat z obecného řešení. Taková řešení, která se vyskytují pouze u některých rovnic, popř. v některých bodech oboru, označujeme jako singulární nebo výjimečná.
Partikulární řešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší numericky.
Příklad
Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem, ubývá z ní teplo rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu mezi teplotou čaje \(T</math> a teplotou v místnosti \(T_0</math> (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme \(k</math>. Máme tedy diferenciální rovnici
- \(\frac{dT}{dt} = k(T_0-T)</math>
a chceme najít všechny funkce \(T(t)</math> (závislost teploty na čase), které ji splňují.
Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu
Řešení příkladu
\(dT</math> lze chápat jako diferenciál, tedy funkci dvou proměnných \(dT(t,dt) = dtT'(t)\,\!</math>. Zlomek \(\frac{dT}{dt}\,\!</math> v tomto významu se rovná derivaci \(T</math> podle \(t</math> (proto se derivace takto značí). Díky tomu lze uvedenou rovnici upravit:
- \(dT = -k(T-T_0)dt \,\!</math>
- \(\frac{dT}{T-T_0} = -kdt \,\!</math>
Strany rovnice se rovnají, právě když se rovnají jejich neurčité integrály (rozdíl obou integračních konstant označme \(c\,\!</math>).
- \(\int\frac{1}{T-T_0}dT = c \,-\,\int kdt \,\!</math>
Vypočtením těchto integrálů obdržíme
- \(\ln |T-T_0| = c - kt \,\!</math>
Strany se rovnají, právě když se rovnají jejich exponenciály. Pro názornost předpokládejme \(T>T_0</math>:
- \(e^{\ln(T-T_0)} = e^{c - kt} \,\!</math>
To lze upravit na
- \( T = T_0 \,+\, e^c \,\, e^{- kt} \,\!</math>
Tato diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, přičemž různé hodnoty c odpovídají různým funkcím T(t), které popisují chladnutí čaje s různou počáteční teplotou.
Související články
Externí odkazy
- MAW – matematické výpočty online umožňuje online řešení diferenciálních rovnic, včetně zobrazení postupu (separovatelné DR, lineární DR prvního a druhého řádu).
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |