Banachova věta o pevném bodě
Z Multimediaexpo.cz
Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.
Znění věty
Nechť \((P, d) \,\) je neprázdný úplný metrický prostor a \(A:P\to P\) je kontrakce na \(P \,\). Pak existuje právě jeden prvek \(x\in P\) takový, že \(Ax=x \,\).
Důkaz
\(A \,\) je kontrakce, existuje tedy \(\alpha\in[0,1)\) takové, že pro všechny \(x,y\in P\) platí
- \(d(Ax,Ay)\leq \alpha d(x,y)\).
Zvolme libovolně \(x_0\in P\). Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro \(n\in\mathbb{N}\) jako \(x_n=Ax_{n-1} \,\). Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy
- \(\forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N}\; \forall m, n \ge n_0\;: d(x_m, x_n) < \varepsilon\)
Pro dané \(\varepsilon \,\), \(m \,\) a \(n \,\) (bez újmy na obecnosti volíme \(n\le m\)) hledáme \(n_0(\varepsilon)\). Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne
- \(d(x_n, x_m)\leq d(x_n, x_{n+1})+d(x_{n+1}, x_{n+2})+\cdots+d(x_{m-1}, x_{m})\leq\)
dále z vlastnosti kontrakce a sečtením \(m-n \,\) členů geometrické posloupnosti
- \(\leq d(x_n, x_{n+1})+\alpha d(x_{n}, x_{n+1})+\cdots+\alpha^{m-n-1} d(x_{n}, x_{n+1})=(1+\alpha+\cdots+\alpha^{m-n-1}) d(x_n, x_{n+1})=\)
- \(=\frac{1-\alpha^{m-n}}{1-\alpha}\alpha^{n} d(x_0,x_1)\leq\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha} d(x_0,x_1)\)
Limita posledního výrazu pro \(n\to \infty\) je nula, pro každé \(\varepsilon\) tedy existuje \(n_0 \,\), že
- \(d(x_n, x_m)\leq\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha} d(x_0,x_1)<\varepsilon\)
a posloupnost \(x_n \,\) je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor \((P,d) \,\) úplný, Cauchyovská posloupnost \(x_n \,\) konverguje k nějakému \(x\in P\).
- \(x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}Ax_{n-1}=\)
z věty o limitě složené funkce (vnější funkce \(A \,\) je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)
- \(=A\lim_{n\to \infty}x_{n-1}=Ax\)
\(x \,\) je tedy pevným bodem zobrazení \(A \,\).
Zbývá ukázat, že \(x \,\) je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body \(x, y\in P\) a \(x\neq y\).
- \(d(x,y)=d(Ax,Ay)\leq\alpha d(x,y)\)
protože \(d(x,y) \,\) je kladné můžeme obě strany krátit a zbude
- \(1\leq\alpha\),
což je spor, protože \(\alpha\in [0,1)\).
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |