Polární soustava souřadnic

Z Multimediaexpo.cz

Polární soustava souřadnic je taková soustava souřadnic v rovině, u které jedna souřadnice (označovaná <math>r</math>) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná <math>\varphi</math>) udává úhel spojnice tělesa a počátku od zvolené osy ležící v rovině (nejčastěji jí odpovídá osa <math>x</math> kartézských souřadnic). Jedná se o ortogonální soustavu souřadnic s Lamého koeficienty

<math>h_r = 1 \quad h_{\varphi} = r</math>.

Polární soustava souřadnic je vhodná v případech takových pohybů, při nichž se nemění vzdálenost tělesa od jednoho bodu (počátku souřadnic), například u pohybu po kružnici, případně se tato vzdálost mění s nějakou jednoduchou závislostí.

Souřadnicová síť v polárních souřadnicích
Bod v polární soustavě souřadnic
Ukázka dvou bodů v polárních souřadnicích: [r=3; φ=60°] a [r=4; φ=210°]
Ukázka převodu polárních souřadnic [r; φ] na kartézské [x; y]

Transformace polárních souřadnic na kartézské:

<math>x = r \cos{\varphi}\,</math>
<math>y = r \sin{\varphi}\,</math>

Převod kartézských souřadnic na polární:

<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
<math>\varphi = \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math>

Tato převodní funkce však funguje jen na intervalu <math>\varphi \in \langle 0,\frac{\pi}{2}\rangle</math> - pro jiné intervaly bychom museli změnit znaménko funkce arctg(x). Abychom mohli popsat inverzi pro daný úhel na celém jeho definičním intervalu, bývá často používána funkce arctg2(y,x) definovaná jako

<math>\operatorname{arctg2}(y,x) = \left\{\begin{matrix}

\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right),\ \ \ \ \ \ & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y>0), \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi,\ & \mbox{je-li } (x<0), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) + 2\pi, & \mbox{je-li } (x>0) \wedge (y<0), \\ \end{matrix}\right.</math>

Převod kartézských souřadnic na polární má potom zápis:

<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
<math>\varphi = \operatorname{arctg2}\left(y,x\right)</math>

Metrické vlastnosti

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

<math>\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\varphi^2,</math>

tedy délka křivky obecně jako

<math>\int_{t_1}^{t_2}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2 
           +r^2\left(\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\mathrm{d}t,</math>

kde t je parametr dané křivky a s je její délka od <math>t_1</math> do <math>t_2</math>.

Obsah infinitesimálního elementu plochy spočteme jako

<math>\mathrm{d}S=r \mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi,</math>

takže celkový obsah spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou v polárních souřadnicích.

Afinní konexe jsou dány vztahy

<math>{\Gamma^r}_{rr}={\Gamma^\varphi}_{\varphi\varphi}=

{\Gamma^r}_{r\varphi}={\Gamma^r}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{rr}=0</math>

<math>{\Gamma^\varphi}_{\varphi r}={\Gamma^\varphi}_{r \varphi} = \frac{1}{r}</math>
<math>{\Gamma^r}_{\varphi \varphi}= -r</math>

Diferenciální operátory v polárních souřadnicích

<math>\nabla f =

{\partial f \over \partial r }\boldsymbol{\hat r } 

 + {1 \over  r }{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}

</math>


<math>\nabla \cdot \mathbf{A} =

{1 \over r }{\partial \left( r A_r \right) \over \partial r } 

 + {1 \over  r }{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}

</math>


<math>\Delta f = \nabla^2 f =

{1 \over r }{\partial \over \partial r }\left( r {\partial f \over \partial r }\right) 

 + {1 \over  r ^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

</math>


<math>\Delta \mathbf{A} = 
 \left(\Delta A_r  - {A_r  \over  r ^2} 
   - {2 \over  r ^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r }  + 
 \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over  r ^2} 
   + {2 \over  r ^2}{\partial A_r  \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi}

</math>


Externí odkazy

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Pol%C3%A1rn%C3%AD_soustava_sou%C5%99adnic“