Kardinální číslo

Z Multimediaexpo.cz

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Obsah

Historie

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést teorii množin, která se dnes nazývá naivní. Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu. Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval <math>\aleph_0</math> (aleph 0). Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, kardinál kontinua, dnes běžně značený c. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (<math>\aleph_0</math>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (<math>\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</math>). Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = <math>\aleph_1</math>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.

Definice

Ordinální číslo <math> \alpha \,\! </math> nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo <math> \beta < \alpha \,\! </math> má i menší mohutnost (tj. <math> \alpha \,\! </math> nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu <math> \beta \,\! </math>). Označíme-li jako <math> Cn \,\! </math> třídu všech kardinálních čísel a <math> On \,\! </math> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: <math> \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) </math> Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <math> \kappa, \lambda, \mu \,\! </math>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <math> \alpha, \beta, \gamma \,\! </math>

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace <math> \approx \,\! </math> (viz článek mohutnost).
Je-li <math> x \,\! </math> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál <math> \lambda \,\! </math>, říkáme, že <math> \lambda \,\! </math> je mohutnost množiny <math> x \,\! </math> a píšeme <math> |x| = \lambda \,\! </math>. Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:

  1. každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
  2. dobře uspořádanou množinu lze izomorfně zobrazit na nějaký ordinál a ten pak vzájmeně jednoznačně na nějaký kardinál – to znamená, že dobře uspořádanou množinu lze zobrazit vzájemně jednoznačně na nějaký kardinál
  3. pokud přijmu axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze dobře uspořádat – a tím i zobrazit na nějaký kardinál.
  4. pokud nepřijmu axiom výběru nebo nějakou jeho obdobu, mám bohužel smůlu a v mém světě množin mohou existovat jedinci, pro které nelze mohutnost definovat výše uvedeným způsobem

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel

  1. Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
  2. Množina <math> \omega \,\! </math> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
  3. Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
  4. Třída <math> Cn \,\! </math> všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou <math> On \,\! </math> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <math> \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další:

  • ordinální čísla <math> \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <math> \omega \,\! </math>
  • ordinální čísla <math> \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
  • ordinální čísla <math> \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
  • ordinální čísla <math> \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
  • dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako <math> \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné

Jak je vidět, za <math> \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <math> Cn - \omega \,\! </math> – také existuje izomorfismus mezi ní a <math> On \,\! </math>.
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena <math> \aleph \,\! </math>.

  • <math> \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
  • <math> \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál
  • pro každý ordinál <math> \alpha \,\! </math> existuje kardinál <math> \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <math> \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math>

Dá se ukázat, že funkce <math> \aleph \,\! </math> je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě <math> On \,\! </math> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s <math> On \,\! </math>. Aplikováno konkrétně na funkci <math> \aleph \,\! </math>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů <math> \alpha \,\! </math>, pro které platí, že <math> \alpha = \aleph_\alpha </math>. Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <math> \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <math> \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti:

  • na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – <math> \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty <math> \aleph_0 \,\! </math>)
  • na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <math> Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> – v takovýchto pevných bodech platí <math> \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math>

Kardinální aritmetika

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kardin%C3%A1ln%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo“