Limita

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií je článek Limita (teorie kategorií)

Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje <math>\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a</math> a u posloupností <math>\lim_{n\to\infty} a_n=a</math> případně <math>a _n \to a\,</math>. Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na libovolném metrickém prostoru.

Obsah 1 Limita posloupnosti 2 Limita funkce 3 Limita vzhledem k podmnožině 4 Vlastní a nevlastní limita 5 Zobecnění pro topologické prostory 5.1 Příklady 6 Poznámky 7 Související články 8 Reference

Limita posloupnosti

Hlavní článek: Limita posloupnosti

Posloupnost <math>\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty</math> má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo <math>\varepsilon</math> platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než <math>\varepsilon</math>. Zapsáno symbolicky:

<math>\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon</math>

Limita funkce

Hlavní článek: limita funkce

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému <math>\epsilon >0</math> existuje takové <math>\delta > 0</math> , že pro všechna x z <math>\delta</math>-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je <math>\left| f(x)-A \right|< \epsilon, </math>.

Limita vzhledem k podmnožině

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Vlastní a nevlastní limita

Limitou posloupnosti může být nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol <math>+\infty \,\!</math> nebo <math>-\infty \,\!</math> (nevlastní limita). Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě <math>+\infty \,\!</math> nebo <math>-\infty \,\!</math>. V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.

Zobecnění pro topologické prostory

Limita zobrazení <math>f: A\to B</math> mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako <math>b\in B</math> takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že <math>x\in O(a)</math> implikuje <math>f(x)\in O(b)</math>. Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí^[1]. Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady

Graf funkce <math>\scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula.

Graf funkce <math>\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} </math>. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v <math>\scriptstyle \pm \infty</math>.

Graf funkce <math>\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}</math>. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu <math>\scriptstyle +\infty \,\!</math> v bodě nula a má vlastní limity 0 v <math>\scriptstyle \pm \infty</math>.

• Funkce <math>{\sin x}\over x \,\!</math> není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1^{[pozn 1]} (vlastní limita ve vlastním bodě) a v <math>+\infty \,\!</math> má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
• Funkce <math>{\sin x} \,\!</math> je v nule spojitá (limita je 0) a v <math>+\infty \,\!</math> limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci <math>{x \cdot \sin x} \,\!</math>
• Funkce <math>{\sin {1\over x}} \,\!</math> ani <math>{\sin {1\over x}}\over x \,\!</math> v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích <math>{1\over x}\,\!</math> či <math>{1\over x^3}\,\!</math>, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je <math>+\infty \,\!</math> a levostranná <math>-\infty \,\!</math>. Naproti tomu funkce <math>{1\over x^2}\,\!</math> a <math>{1\over x^4}\,\!</math> mají v nule limitu <math>+\infty \,\!</math> (nevlastní limita ve vlastním bodě).
• Funkce <math>e^x\,\!</math> má v <math>-\infty \,\!</math> limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v <math>+\infty \,\!</math> limitu <math>+\infty \,\!</math>.

Poznámky

1. ↑ To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články

• Derivace
• l'Hospitalovo pravidlo
• vlastní limita
• nevlastní limita
• Spojitá funkce
• Konvergence
• Divergence

Reference

1. ↑ Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii