Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Zlatý prostorový úhel

Z Multimediaexpo.cz

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math> - mysleno v steradiánech
<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>

Výpočet

Obsah

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (<math> \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}</math>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

<math>\beta = \varphi\alpha</math>
<math>4 \pi = \varphi\beta</math>

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

<math>4 \pi = \varphi^2\alpha</math>

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

<math>\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha </math>

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math>
<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

<math>\beta = 4\pi - \alpha</math>
<math>\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}</math>

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

<math>4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2</math>
<math>0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2</math>

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.

<math>\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}</math>
<math>\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}</math>
<math>\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}</math>

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Zlat%C3%BD_prostorov%C3%BD_%C3%BAhel“