Neutrální prvek

Z Multimediaexpo.cz

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací <math>\otimes</math> takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <math>\cdot</math>, je e často nazýván jednotkovým prvkem <math>(1 \cdot x = x)</math>. V případě použití aditivního značení, např. <math>+</math>, je e často nazýván nulovým prvkem <math>(0 + x = x)\!</math>. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Obsah 1 Příklady 2 Formální definice 3 Související články 4 Poznámky

Příklady

• Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
• Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
• Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
• Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
• Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> je množina všech zobrazení z množiny <math>M\,</math> do sebe sama a <math>\otimes</math> je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná <math>\forall x \in M : id(x) = x</math>.
• Pokud má <math>A\,</math> pouze dva prvky <math>e\,</math> a <math>f\,</math> a operace <math>\otimes</math> je definována tak, že <math>e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <math>f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <math>e\,</math> a <math>f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, <math>(A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <math>A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <math>A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.^{[pozn 1]}

Formální definice

Buď <math>A\,</math> množina a <math>\otimes</math> operace na <math>A\,</math>.

• Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá levý neutrální, právě když <math>\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
• Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá pravý neutrální, právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
• Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá neutrální, právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

Související články

• Inverzní prvek
• Grupa
• Monoid

Poznámky

1. ↑ Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak <math>l = l \otimes r = r</math>. V množině A tedy může být jen jeden neutrální prvek.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii