Juliova množina

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Juliova množina, \(c \doteq -0,73 + 0,19 i\)

Mapa 221 Juliových množin

Různé Juliovy množiny v závislosti na parametru c a porovnání polohy tohoto parametru v komplexní rovině a Mandelbrotovy množiny.

Juliova množina je množina všech bodů \(z\) v komplexní rovině, pro které posloupnost \(z_{n+1} = z_{n}^2+c\), kde \(c\) je libovolné komplexní číslo, nediverguje. Hranice takovéto množiny tvoří fraktál. Poprvé byly tyto množiny popsány francouzskými matematiky Gastonem Juliou a Pierrem Fatou.

Vznik

Juliovy množiny vznikají velice snadno. Zvolíme jedno libovolné komplexní číslo c, které bude charakterizovat množinu. A nyní pro každý bod komplexní roviny z zjistíme, zda neustálým mocněním z a přičítáním konstanty c diverguje.

\(z_{n+1} = z_{n}^2+c\)

Pokud nediverguje, patří bod do množiny. V praxi vypadá výpočet velmi snadno: Zkoumané číslo z je umocněno a je k němu přičtena konstanta c. Pokud je výsledek v absolutní hodnotě větší než 2, bod nepatří do množiny. Pokud je menší, zopakuje se výpočet. Jestliže ani po několika iteracích nepřesáhne výsledek hodnotu 2, patří bod do Juliovy množiny. Na počtu provedených iterací (v ideálním případě nekonečno) závisí ostrost detailů zobrazené množiny. Podle počtu iterací, po kterých absolutní hodnota bodu z překročí 2, lze danému bodu přiřadit barvu a získat tak různé barevné přechody, přestože správně by graf Juliovy množiny měl být pouze dvoubarevný (patří/nepatří).

Související články

• Mandelbrotova množina

Externí odkazy

• Root.cz, Fraktály v počítačové grafice X: http://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-x/#k05