Geometrický průměr
Z Multimediaexpo.cz
Geometrický průměr n nezáporných čísel \(x_1, x_2, \dots, x_n\) je definován jako n-tá odmocnina jejich součinu:
\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}\).
Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.
Příklad
Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. tempo růstu cen bylo postupně 20 %, 10 %, poté -15 % a +10 %, pak průměrný koeficient růstu je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,0544 ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).
Vlastnosti
Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než aritmetický průměr. Rovnost nastane jedině když jsou všechny průměrované hodnoty stejné – viz AG nerovnost. To mj. umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.
Geometrický průměr je lineárně homogenní funkce (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí
- \( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .\)
Logaritmus geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:
- \(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\)
To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný f-průměr s logaritmickou transformací f(x) = ln x:
- \(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).\)
Související články
- Aritmetický průměr
- Harmonický průměr
- Medián
- Modus
- Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
- Nerovnosti mezi průměry
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |