Kvádr

Z Multimediaexpo.cz


Kvádr je trojrozměrné těleso – rovnoběžnostěn, jehož stěny tvoří šest pravoúhlých čtyřúhelníků (zpravidla obdélníků, ale existují i speciální případy). Má tři skupiny rovnoběžných hran shodné délky (v rámci skupiny). Tyto délky jsou obvykle označovány jako délka, šířka a výška kvádru.

Obsah

Vlastnosti

Výpočty

Objem \( V \,\! \) a povrch \( S \,\! \) kvádru lze vypočítat z délky jeho hran \( a,b,c \,\! \) jako:

  • \( V = a.b.c \,\!\)
  • \( c = V/ab \,\!\)
  • \( S = 2.(a.b + b.c + a.c) \,\! \)

Kvádr má tři různé délky stěnových úhlopříček, které jsou vlastně délkou úhlopříčky obdélníka ve vztahu k jeho stranám, a počítají se z Pythagorovy věty:

  • \( u_a = \sqrt{b^2 + c^2} \,\! \)
  • \( u_b = \sqrt{a^2 + c^2} \,\! \)
  • \( u_c = \sqrt{a^2 + b^2} \,\! \)

Délku úhlopříčky kvádru (tj. vzdálenost dvou vrcholů, které neleží ve stejné stěně) lze vypočítat rovněž z Pythagorovy věty:

  • \( u = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \,\! \)

Kvádr má šest stěn obdélníkového tvaru (ve speciálních případech 2 čtvercové + 4 obdélníkové nebo 6 čtvercových) z nichž dvě protilehlé jsou vždy shodné, osm vrcholů a dvanáct hran z nichž čtveřice rovnoběžných má vždy shodnou délku.

Souměrnost

Kvádr je středově souměrný podle průsečíku svých úhlopříček. Kvádr je osově souměrný podle tří os - spojnic středů protilehlých stěn. Kvádr je rovinově souměrný podle tří rovin. Každá z těchto rovin je rovnoběžná s některou ze stěn kvádru a prochází průsečíkem úhlopříček kvádru.

Další vlastnosti

Každé dvě stěny kvádru jsou rovnoběžné nebo kolmé. Každé dvě hrany kvádru jsou rovnoběžné nebo kolmé.

Speciální případy

Pravidelný čtyřboký hranol

Speciálním případem kvádru pro \( a = b \,\! \) je pravidelný čtyřboký hranol. Ten má nejméně jednu dvojici protilehlých stěn čtvercovou - mluvíme o ní jako o základně nebo podstavě. O zbývajícím (potenciálně různém) rozměru pak mluvíme jako o výšce hranolu \( v = c \,\! \). Vzorce pro objem a povrch se nám v tomto případě zjednodušují na:

  • \( V = a^2.v \,\! \)
  • \( S = 2.a^2 + 4.a.v \,\! \)

Podíveje se také na

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kv%C3%A1dr“