Lineární kód

Z Multimediaexpo.cz

Lineární kód je v teorii kódování typem blokového kódu používaným metodami pro detekci a opravu chyb. Lineární kódy umožňují realizaci efektivnějších algoritmů pro kódování a dekódování než jiné kódy.

Obsah 1 Formální definice 2 Vlastnosti 3 Obvyklé značení 4 Příklady 5 Externí odkazy

Formální definice

Lineární kód délky n a stupně k je lineární podprostor o rozměru k vektorového prostoru \(\mathbb{F}_q^n\), kde \(\mathbb{F}_q\) je konečné těleso s q prvky. Je-li q = 2, respektive q = 3, daný kód se označuje jako binární kód, respektive ternární kód.

JINAK: Lineární kód je kód, kde lineární kombinace dvou nebo i více kódových slov je opět kódové slovo;

Vlastnosti

Jakožto lineární podprostor vektorového prostoru \(\mathbb{F}_q^n\) může být kód C zcela reprezentován lineárním obalem minimální množiny kódových slov – neboli báze daného vektorového prostoru. Kódová slova této báze bývají obvykle uspořádána do řádků matice G, označované jako generující matice kódu C. Matice G je ve standardním tvaru, platí-li G = (I_k | A), kde I_k je jednotková matice k × k a A je libovolná matice k × (n − k).

Matice \(H: \mathbb{F}_q^n\to \mathbb{F}_q^{n-k}\), jejímž jádrem je C, se nazývá kontrolní matice kódu C. Má-li kód C generující matici G = (I_k | A), pak jeho kontrolní matice odpovídá H = (-A^t | I_n-k).

Z definice podprostoru také vyplývá, že minimální Hammingova vzdálenost d mezi libovolným kódovým slovem c₀ a jinými kódovými slovy c ≠ c₀ je konstantní. Jelikož je rozdíl dvou kódových slov c − c₀ z kódu C opět kódovým slovem (tedy prvkem podprostoru C) a zároveň platí d(c, c₀) = d(c − c₀, 0), je možné vyvodit následující:

\(\min_{c \in C,\ c \neq c_0}d(c,c_0)=\min_{c \in C, c \neq c_0}d(c-c_0, 0)=\min_{c \in C, c \neq 0}d(c, 0)=d.\)

Obvyklé značení

Pro různé druhy kódů se obecně používá písmeno C. Lineární kód délky n, dimenze k (tzn. s k kódovými slovy v bázi, nebo také s k řádky generující matice) a s Hammingovou vzdáleností d se označuje jako kód [n, k, d].

Příklady

Příklady některých lineárních kódů:

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii