Mersennovo prvočíslo

Z Multimediaexpo.cz

Mersennovo prvočíslo je takové prvočíslo, které je o jedna menší než celočíselná mocnina dvojky, tzn. je tvaru

\(M_p = 2^p -1\),

pokud číslo v takovém tvaru není prvočíslo, označuje se jako Mersennovo číslo.

Příkladem Mersennova prvočísla je 7 = 23 − 1. Naproti tomu například Mersennovo číslo 24 − 1 = 15 není prvočíslem (je to složené číslo, 15 = 3 · 5).

Obsah

Vlastnosti

Lze snadno ukázat, že pokud má být číslo 2n − 1 prvočíslem, musí být prvočíslem i exponent n:

\(2^{ab}-1 = (2^a-1) \cdot (1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a})\),

opak ovšem neplatí: číslo 2p − 1 může být složené i pro prvočíselný exponent p (např. 211 − 1 = 23 · 89).

Mersennova prvočísla mají těsný vztah s dokonalými čísly (čísla, která jsou rovná součtu svých vlastních dělitelů), tento fakt byl také prvotním důvodem pro studium tohoto druhu prvočísel. Už ve 4. století př. n. l. Eukleidés dokázal, že pokud M je Mersennovo prvočíslo, pak M(M+1)/2 je dokonalé číslo. V 18. století pak dokázal Euler, že takovou formu mají všechna sudá dokonalá čísla. (Nejsou známa žádná lichá dokonalá čísla a předpokládá se, že žádná neexistují.)

V současné době není známo, zda je Mersennových prvočísel nekonečně mnoho.

\(M_n\) je sumou kombinačních čísel: \(M_n = \sum_{i=0}^{n}{n \choose i} - 1\).

Historie

Tato čísla jsou pojmenována po francouzském matematikovi Marinu Mersennovi (1588–1648), který sestavil seznam takových prvočísel s exponenty do 257; jeho seznam však obsahoval chyby: nesprávně zahrnoval M67 a M257 a naopak v něm chyběly M61, M89, M107. Mnoho prvočísel v tomto tvaru je však známo už výrazně déle (viz níže).

Způsoby hledání

Pro hledání Mersennových prvočísel existují specializované velice rychlé metody (oproti obecným metodám pro hledání či testování libovolných prvočísel), což je důvod, proč největší známá prvočísla jsou právě Mersennovými prvočísly.

V současné době nejrychlejší metoda testování prvočíselnosti Mersennových čísel spočívá ve výpočtu rekurentní posloupnosti, vyvinutá v roce 1878 Edouardem Lucasem a vylepšená Lehmerem ve 30. letech 20. století, známá jako Lucasův-Lehmerův test. Tento test je založen na faktu, že Mersennovo číslo je prvočíslem tehdy a jen tehdy, pokud dělí číslo \(s_{n - 2}\), kde \(s_k = s_{k-1}^2 - 2\) (a \(s_0 = 4\)).

Převratem ve vyhledávání Mersennových prvočísel byl příchod počítačů. První počítačem nalezené Mersennovo prvočíslo, M521, bylo nalezeno v 22:00 30. ledna 1952 na počítači na UCLA, pod Lehmerovým vedením, pomocí programu sestaveného profesorem Robinsonem. Od nalezení předchozího Mersennova prvočísla tehdy uběhlo už 38 let, následující prvočíslo (M607) pak bylo nalezeno za necelé dvě hodiny, v dalších měsících pak stejný program nalezl tři další.

V roce 1996 vznikl na Internetu projekt GIMPS pro distribuované vyhledávání Mersennových prvočísel. Tento projekt dosud objevil čtrnáct největších známých Mersennových prvočísel (tzn. i největší dnes známé prvočíslo).

Známá Mersennova prvočísla

Následující tabulka obsahuje všechna známá Mersennova prvočísla (sekvence A000668 v OEIS):

# n Mn Cifer v Mn Datum objevu Objevitel
1. 2 3 1 dávno neznámý
2. 3 7 1 dávno neznámý
3. 5 31 2 dávno neznámý
4. 7 127 3 dávno neznámý
5. 13 8191 4 1456 neznámý
6. 17 131071 6 1588 Pietro Cataldi
7. 19 524287 6 1588 Pietro Cataldi
8. 31 2147483647 10 1772 Leonhard Euler
9. 61 2305843009213693951 19 1883 Ivan Pervušin
10. 89 618970019…449562111 27 1911 Powers
11. 107 162259276…010288127 33 1914 Powers
12. 127 170141183…884105727 39 1876 Edouard Lucas
13. 521 686479766…115057151 157 30. ledna 1952 Robinson
14. 607 531137992…031728127 183 30. ledna 1952 Robinson
15. 1 279 104079321…168729087 386 25. června 1952 Robinson
16. 2 203 147597991…697771007 664 7. října 1952 Robinson
17. 2 281 446087557…132836351 687 9. října 1952 Robinson
18. 3 217 259117086…909315071 969 8. září 1957 Riesel
19. 4 253 190797007…350484991 1 281 3. listopadu 1961 Hurwitz
20. 4 423 285542542…608580607 1 332 3. listopadu 1961 Hurwitz
21. 9 689 478220278…225754111 2 917 11. května 1963 Gillies
22. 9 941 346088282…789463551 2 993 16. května 1963 Gillies
23. 11 213 281411201…696392191 3 376 2. června 1963 Gillies
24. 19 937 431542479…968041471 6 002 4. března 1971 Tuckerman
25. 21 701 448679166…511882751 6 533 30. října 1978 Noll a Nickel
26. 23 209 402874115…779264511 6 987 9. února 1979 Noll
27. 44 497 854509824…011228671 13 395 8. dubna 1979 Nelson a Slowinski
28. 86 243 536927995…433438207 25 962 25. září 1982 Slowinski
29. 110 503 521928313…465515007 33 265 28. ledna 1988 Colquitt a Welsh
30. 132 049 512740276…730061311 39 751 20. září 1983 Slowinski
31. 216 091 746093103…815528447 65 050 6. září 1985 Slowinski
32. 756 839 174135906…544677887 227 832 19. února 1992 Slowinski a Gage
33. 859 433 129498125…500142591 258 716 10. ledna 1994 Slowinski a Gage
34. 1 257 787 412245773…089366527 378 632 3. září 1996 Slowinski a Gage
35. 1 398 269 814717564…451315711 420 921 13. listopadu 1996 GIMPS / Joel Armengaud
36. 2 976 221 623340076…729201151 895 932 24. srpna 1997 GIMPS / Gordon Spence
37. 3 021 377 127411683…024694271 909 526 27. ledna 1998 GIMPS / Roland Clarkson
38. 6 972 593 437075744…924193791 2 098 960 1. června 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
39. 13 466 917 924947738…256259071 4 053 946 14. listopadu 2001 GIMPS / Michael Cameron
40. 20 996 011 125976895…855682047 6 320 430 17. listopadu 2003 GIMPS / Michael Shafer
41. 24 036 583 299410429…733969407 7 235 733 15. května 2004 GIMPS / Josh Findley
42. 25 964 951 122164630…577077247 7 816 230 18. února 2005 GIMPS / Martin Nowak
43.* 30 402 457 315416475…652943871 9 152 052 16. prosince 2005 GIMPS / Curtis Cooper a Steven Boone
44.* 32 582 657 124575026…053967871 9 808 358 4. září 2006 GIMPS / Curtis Cooper a Steven Boone
45.* 37 156 667 202254406…308220927 11 185 272 6. září 2008 GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46.* 42 643 801 169873516…562314751 12 837 064 12. duben 2009 GIMPS / Odd M. Strindmo
47.* 43 112 609 316470269…697152511 12 978 189 23. srpna 2008 GIMPS / Edson Smith
48.* 57 885 161 581887266…724285951 17 425 170 25. leden 2013 GIMPS / Curtis Cooper[1]

* Dosud není známo, zda mezi 42. a 48. existují některá dosud neobjevená Mersennova prvočísla, číslování je zde proto pouze dočasné.

Reference

  1. ↑ Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 257,885,161-1

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Mersennovo_prvo%C4%8D%C3%ADslo“