Teorie míry

Z Multimediaexpo.cz

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá z nejobecnějšího možného hlediska problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má velmi úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Míra

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definice

Funkce μ, která je definovaná na σ-algebře Σ, a jejíž obor hodnot je podmnožinou intervalu \([0,\infty]\), se nazývá míra, jestliže platí:

• míra prázdné množiny je nulová: \(\mu(\emptyset)=0\)
• σ-aditivita: pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin \(A_{0},A_{1},...\) je \(\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})\)

Vlastnosti míry

• \( \mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)\)
• \( \mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)
• \( \mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)

Příklady měr

• Diracova míra \(\delta_{a}\): Nehť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra \(\delta_{a}\) je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

\(\delta_{a}(A)=\begin{cases}

 \mbox{0 pokud } a\notin A\\
 \mbox{1 pokud } a\in A

\end{cases}\)

• Aritmetická míra
• Lebesgueova míra
• Hausdorffova míra
• Lebesgue-Stieltjesovy míry

Reference

Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru

Související články