Asociativita

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Asociativita je v algebře vlastnost binární operace, spočívající v tom, že nezáleží, jak použijeme závorky u výrazu, kde je více operandů, v jakém pořadí budeme tedy tento výraz počítat.

Obsah

1 Definice
2 Příklady
3 Vlastnosti
4 Související články
5 Externí odkazy

Definice

Binární operace * je na množině S asociativní, jestliže platí

(x * y) * z = x * (y * z)

pro každé x, y a z v S.

Příklady

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)

(7.3).2 = 21.2 = 42 = 7.6 = 7.(3.2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (a^b) čísel nebo vektorové násobení vektorů.

\( 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 </math>.

\(2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3</math>

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, \(2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}</math> (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: \((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}</math>).

Struktury s jednou binární operací
	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa
Monoid
Pologrupa
Lupa
Kvazigrupa
Grupoid

Vlastnosti

Asociativita operace je důležitá, protože umožňuje nepoužívat závorky a např. zavedení mocnin s přirozeným mocnitelem.

Související články

Externí odkazy

Asociativita v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 19: / Řádka 19: @@
 Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například [[odčítání]] (''a''&nbsp;−&nbsp;''b''), [[dělení]] (''a''&nbsp;:&nbsp;''b'') a [[umocňování]] (''a''<sup>''b''</sup>) čísel nebo [[vektorový součin|vektorové násobení]] vektorů.
-:<math> 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 </math>.
+:<big>\( 2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1 </math>.
-:<math>2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3</math>
+:<big>\(2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3</math>
-U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích ''asociativních zleva'' či ''asociativních zprava''. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10&nbsp;−&nbsp;5&nbsp;−&nbsp;3 se chápe jako (10&nbsp;−&nbsp;5)&nbsp;−&nbsp;3, naopak umocňování je asociativní zprava, <math>2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}</math> (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: <math>(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}</math>).
+U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích ''asociativních zleva'' či ''asociativních zprava''. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10&nbsp;−&nbsp;5&nbsp;−&nbsp;3 se chápe jako (10&nbsp;−&nbsp;5)&nbsp;−&nbsp;3, naopak umocňování je asociativní zprava, <big>\(2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}</math> (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: <big>\((2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}</math>).
 {| align= "right" class="wikitable"