Operátor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 1: Řádka 1:
{{Různé významy|tento=matematickém pojmu}}
{{Různé významy|tento=matematickém pojmu}}
-
'''Operátorem''' <math>\hat A</math> nazýváme v [[matematika|matematice]] takové [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], kterým nějaké [[Funkce (matematika)|funkci]]  ''f'' přiřazujeme funkci ''g'', tzn.
+
'''Operátorem''' <big>\(\hat A</math> nazýváme v [[matematika|matematice]] takové [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], kterým nějaké [[Funkce (matematika)|funkci]]  ''f'' přiřazujeme funkci ''g'', tzn.
-
:<math>\hat A f = g</math>,  
+
:<big>\(\hat A f = g</math>,  
-
kde <math>f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}</math>. Působením operátoru <math>\hat A</math> na ''f'' tedy získáme ''g''. Říkáme, že na '''X''' je dán operátor <math>\hat A</math>, zobrazující prostor '''X''' do prostoru '''Y'''.
+
kde <big>\(f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}</math>. Působením operátoru <big>\(\hat A</math> na ''f'' tedy získáme ''g''. Říkáme, že na '''X''' je dán operátor <big>\(\hat A</math>, zobrazující prostor '''X''' do prostoru '''Y'''.
-
Operátor obvykle značíme stříškou, např. <math>\hat H, \hat p</math>, apod.
+
Operátor obvykle značíme stříškou, např. <big>\(\hat H, \hat p</math>, apod.
-
Prvek <math>f \in \mathbf{X}</math> nazýváme ''vzorem'' (''originálem''), prvek <math>g \in \mathbf{Y}</math> ''obrazem''.
+
Prvek <big>\(f \in \mathbf{X}</math> nazýváme ''vzorem'' (''originálem''), prvek <big>\(g \in \mathbf{Y}</math> ''obrazem''.
-
Množina všech <math>g \in \mathbf{Y}</math>, které přísluší všem <math>f \in \mathbf{X}</math>, tzn. množina všech obrazů, se nazývá ''[[obor hodnot]] operátoru'' <math>\hat A</math>. Obvykle se značí <math>\mathrm{Rng}(\hat A)</math>. Pokud operátor není definován pro všechna <math>f \in \mathbf{X}</math>, pak množinu těch <math>f \in X</math> pro které definován je nazveme ''[[definiční obor|definičním oborem]] operátoru''.
+
Množina všech <big>\(g \in \mathbf{Y}</math>, které přísluší všem <big>\(f \in \mathbf{X}</math>, tzn. množina všech obrazů, se nazývá ''[[obor hodnot]] operátoru'' <big>\(\hat A</math>. Obvykle se značí <big>\(\mathrm{Rng}(\hat A)</math>. Pokud operátor není definován pro všechna <big>\(f \in \mathbf{X}</math>, pak množinu těch <big>\(f \in X</math> pro které definován je nazveme ''[[definiční obor|definičním oborem]] operátoru''.
== Funkcionál ==
== Funkcionál ==
-
Pokud je <math>\mathbf{Y}</math> množina [[reálné číslo|reálných]], resp. [[komplexní číslo|komplexních čísel]], tzn. [[proměnná]] ''g'' je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor <math>\hat A</math> nazýváme (reálným, resp. komplexním) '''funkcionálem'''.
+
Pokud je <big>\(\mathbf{Y}</math> množina [[reálné číslo|reálných]], resp. [[komplexní číslo|komplexních čísel]], tzn. [[proměnná]] ''g'' je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor <big>\(\hat A</math> nazýváme (reálným, resp. komplexním) '''funkcionálem'''.
== Vybrané druhy operátorů ==
== Vybrané druhy operátorů ==
=== Lineární operátor ===
=== Lineární operátor ===
-
'''Lineární operátor''' <math>\hat A</math> je takový operátor, pro který platí
+
'''Lineární operátor''' <big>\(\hat A</math> je takový operátor, pro který platí
-
:<math>\hat A (\sum_i c_i f_i) = \sum_i c_i (\hat A f_i)</math>,
+
:<big>\(\hat A (\sum_i c_i f_i) = \sum_i c_i (\hat A f_i)</math>,
-
kde <math>f_i</math> jsou libovolné funkce a <math>c_i</math> jsou libovolné koeficienty.
+
kde <big>\(f_i</math> jsou libovolné funkce a <big>\(c_i</math> jsou libovolné koeficienty.
-
Linearitu operátoru <math>\hat A</math> je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty <math>c_1, c_2</math> a libovolné funkce <math>f_1, f_2, g_1, g_2</math> takové, že <math>g_1 = \hat A f_1</math> a <math>g_2 = \hat A f_2</math>, pak platí
+
Linearitu operátoru <big>\(\hat A</math> je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty <big>\(c_1, c_2</math> a libovolné funkce <big>\(f_1, f_2, g_1, g_2</math> takové, že <big>\(g_1 = \hat A f_1</math> a <big>\(g_2 = \hat A f_2</math>, pak platí
-
:<math>\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2</math>
+
:<big>\(\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2</math>
=== Antilineární operátor ===
=== Antilineární operátor ===
Operátor označujeme jako '''antilineární''', jestliže platí
Operátor označujeme jako '''antilineární''', jestliže platí
-
:<math>\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i</math>,
+
:<big>\(\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i</math>,
-
kde <math>f_i</math> jsou libovolné funkce a <math>c_i^*</math> jsou koeficienty [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdružené]] k <math>c_i</math>.
+
kde <big>\(f_i</math> jsou libovolné funkce a <big>\(c_i^*</math> jsou koeficienty [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdružené]] k <big>\(c_i</math>.
=== Operátor identity ===
=== Operátor identity ===
-
Důležitým operátorem je tzv. '''operátor [[identita (matematika)|identity]]''' ('''jednotkový operátor''') <math>\hat I</math>, pro který platí
+
Důležitým operátorem je tzv. '''operátor [[identita (matematika)|identity]]''' ('''jednotkový operátor''') <big>\(\hat I</math>, pro který platí
-
:<math>\hat I f = f</math>
+
:<big>\(\hat I f = f</math>
-
Působením operátoru identity <math>\hat I</math> tedy nedochází k žádné změně.
+
Působením operátoru identity <big>\(\hat I</math> tedy nedochází k žádné změně.
=== Totožné operátory ===
=== Totožné operátory ===
-
Pokud pro dva operátory <math>\hat A, \hat B</math> z '''X''' do '''Y''' platí <math>\hat A f = \hat B f</math> pro každé <math>f \in \mathbf{X}</math>, pak říkáme, že oba operátory jsou ''totožné''.
+
Pokud pro dva operátory <big>\(\hat A, \hat B</math> z '''X''' do '''Y''' platí <big>\(\hat A f = \hat B f</math> pro každé <big>\(f \in \mathbf{X}</math>, pak říkáme, že oba operátory jsou ''totožné''.
=== Spojitý operátor ===
=== Spojitý operátor ===
-
Operátor <math>\hat A</math> se nazývá ''spojitý'' v bodě <math>f_0 \in \mathbf{X}</math>, jestliže pro každou [[posloupnost]] prvků <math>\{f_n\}</math> z <math>\mathbf{X}</math>, pro kterou v prostoru <math>\mathbf{X}</math> platí <math>f_n \to f_0</math>, platí také <math>\hat A f_n \to \hat A f_0</math>, tzn. <math>g_n \to g_0</math>, v prostoru <math>\mathbf{Y}</math>.
+
Operátor <big>\(\hat A</math> se nazývá ''spojitý'' v bodě <big>\(f_0 \in \mathbf{X}</math>, jestliže pro každou [[posloupnost]] prvků <big>\(\{f_n\}</math> z <big>\(\mathbf{X}</math>, pro kterou v prostoru <big>\(\mathbf{X}</math> platí <big>\(f_n \to f_0</math>, platí také <big>\(\hat A f_n \to \hat A f_0</math>, tzn. <big>\(g_n \to g_0</math>, v prostoru <big>\(\mathbf{Y}</math>.
-
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě <math>f_1 \in \mathbf{X}</math>, je spojitý v každém bodě <math>f \in \mathbf{X}</math>.
+
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě <big>\(f_1 \in \mathbf{X}</math>, je spojitý v každém bodě <big>\(f \in \mathbf{X}</math>.
=== Omezený operátor ===
=== Omezený operátor ===
-
Operátor <math>\hat A</math> nazveme ''ohraničeným (omezeným) operátorem'' tehdy, jestliže existuje takové <math>\mu > 0</math> (nezávislé na ''f''), že pro každé <math>f \in \mathbf{X}</math> platí
+
Operátor <big>\(\hat A</math> nazveme ''ohraničeným (omezeným) operátorem'' tehdy, jestliže existuje takové <big>\(\mu > 0</math> (nezávislé na ''f''), že pro každé <big>\(f \in \mathbf{X}</math> platí
-
:<math>{\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}</math>,
+
:<big>\({\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}</math>,
-
kde <math>{\|f\|}_\mathbf{X}</math> je [[norma vektoru|norma]] funkce (vlastního řešení) ''f'' v prostoru '''X''' a <math>{\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math> je norma prvku <math>\hat A f</math> v prostoru '''Y'''.
+
kde <big>\({\|f\|}_\mathbf{X}</math> je [[norma vektoru|norma]] funkce (vlastního řešení) ''f'' v prostoru '''X''' a <big>\({\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math> je norma prvku <big>\(\hat A f</math> v prostoru '''Y'''.
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
-
[[Infimum]] čísel <math>\mu</math> operátoru <math>\hat A</math> představuje tzv. '''normu operátoru''' <math>\|\hat A\|</math>, tzn.
+
[[Infimum]] čísel <big>\(\mu</math> operátoru <big>\(\hat A</math> představuje tzv. '''normu operátoru''' <big>\(\|\hat A\|</math>, tzn.
-
:<math>\|\hat A\| = \inf \mu</math>
+
:<big>\(\|\hat A\| = \inf \mu</math>
-
Normu lze také získat jako [[supremum]] množiny čísel <math>{\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math> pro všechny jednotkové prvky ''f'', tzn.
+
Normu lze také získat jako [[supremum]] množiny čísel <big>\({\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math> pro všechny jednotkové prvky ''f'', tzn.
-
:<math>\|\hat A\|  = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math>
+
:<big>\(\|\hat A\|  = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math>
=== Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor ===
=== Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor ===
-
Operátor <math>\hat A</math> označíme jako '''symetrický''', jestliže platí
+
Operátor <big>\(\hat A</math> označíme jako '''symetrický''', jestliže platí
-
:<math>\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>
+
:<big>\(\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>
kde bylo použito zápisu pomocí [[Diracova notace|Diracovy symboliky]] běžně užívané v kvantové fyzice.
kde bylo použito zápisu pomocí [[Diracova notace|Diracovy symboliky]] běžně užívané v kvantové fyzice.
Omezený symetrický operátor označujeme jako '''hermiteovský'''.
Omezený symetrický operátor označujeme jako '''hermiteovský'''.
-
Operátor <math>\hat A</math> označíme jako '''antihermiteovský''', je-li operátor <math>\mathrm{i} \hat A</math> hermiteovský.
+
Operátor <big>\(\hat A</math> označíme jako '''antihermiteovský''', je-li operátor <big>\(\mathrm{i} \hat A</math> hermiteovský.
-
K operátoru <math>\hat A</math> existuje '''sdružený operátor''' <math>{\hat A}^+</math>, který splňuje vztah
+
K operátoru <big>\(\hat A</math> existuje '''sdružený operátor''' <big>\({\hat A}^+</math>, který splňuje vztah
-
:<math>\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>
+
:<big>\(\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>
neboli
neboli
-
:<math>\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*</math>
+
:<big>\(\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*</math>
Platí vztahy
Platí vztahy
-
:<math>\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|</math>
+
:<big>\(\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|</math>
-
:<math>{({\hat A}^+)}^+ = \hat A</math>
+
:<big>\({({\hat A}^+)}^+ = \hat A</math>
-
:<math>{(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+</math>
+
:<big>\({(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+</math>
-
:<math>{(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+</math>
+
:<big>\({(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+</math>
-
:<math>{(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+</math>
+
:<big>\({(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+</math>
Operátor  se nazývá '''samosdružený''', jestliže platí
Operátor  se nazývá '''samosdružený''', jestliže platí
-
:<math>{\hat A}^+ = \hat A</math>
+
:<big>\({\hat A}^+ = \hat A</math>
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.
-
Samosdružený operátor <math>\hat A</math> je ''pozitivní'', když pro každé <math>|u\rangle</math> platí
+
Samosdružený operátor <big>\(\hat A</math> je ''pozitivní'', když pro každé <big>\(|u\rangle</math> platí
-
:<math>\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0</math>
+
:<big>\(\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0</math>
Operátor označujeme jako ''normální'', když platí
Operátor označujeme jako ''normální'', když platí
-
:<math>[\hat A,{\hat A}^+] = 0</math>,
+
:<big>\([\hat A,{\hat A}^+] = 0</math>,
-
kde <math>[,]</math> označují [[komutátor (algebra)|komutátor]].
+
kde <big>\([,]</math> označují [[komutátor (algebra)|komutátor]].
=== Inverzní operátor ===
=== Inverzní operátor ===
-
Operátor <math>{\hat A}^{-1}</math> nazveme '''inverzním operátorem''' k <math>\hat A</math>, pokud platí
+
Operátor <big>\({\hat A}^{-1}</math> nazveme '''inverzním operátorem''' k <big>\(\hat A</math>, pokud platí
-
:<math>\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I</math>,
+
:<big>\(\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I</math>,
-
kde <math>\hat I</math> představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.
+
kde <big>\(\hat I</math> představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)
-
:<math>{(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}</math>
+
:<big>\({(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}</math>
-
:<math>{({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+</math>
+
:<big>\({({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+</math>
=== Unitární operátor ===
=== Unitární operátor ===
-
Operátor <math>\hat A</math> označíme jako '''unitární''', pokud platí
+
Operátor <big>\(\hat A</math> označíme jako '''unitární''', pokud platí
-
:<math>{\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}</math>
+
:<big>\({\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}</math>
neboli  
neboli  
-
:<math>{\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I</math>,
+
:<big>\({\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I</math>,
-
kde <math>\hat I</math> je operátor identity.
+
kde <big>\(\hat I</math> je operátor identity.
-
Pro libovolný unitární operátor <math>\hat A</math> platí
+
Pro libovolný unitární operátor <big>\(\hat A</math> platí
-
:<math>\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle</math>
+
:<big>\(\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle</math>
-
Jestliže operátor <math>\hat M</math> splňuje vztah
+
Jestliže operátor <big>\(\hat M</math> splňuje vztah
-
:<math>\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle</math>,
+
:<big>\(\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle</math>,
-
pak operátor <math>\hat M</math> označujeme jako ''izometrický''. Izometrický operátor sice splňuje vztah <math>{\hat M}^+ \hat M = \hat I</math>, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být <math>\hat M {\hat M}^+ \ne \hat I</math>.
+
pak operátor <big>\(\hat M</math> označujeme jako ''izometrický''. Izometrický operátor sice splňuje vztah <big>\({\hat M}^+ \hat M = \hat I</math>, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být <big>\(\hat M {\hat M}^+ \ne \hat I</math>.
=== Projekční operátor ===
=== Projekční operátor ===
-
Omezený operátor <math>\hat E</math> označíme jako '''projekční''', splňuje-li podmínky
+
Omezený operátor <big>\(\hat E</math> označíme jako '''projekční''', splňuje-li podmínky
-
:<math>\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2</math>
+
:<big>\(\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2</math>
-
Je-li <math>\hat E</math> projekční operátor, pak je projekčním operátorem také
+
Je-li <big>\(\hat E</math> projekční operátor, pak je projekčním operátorem také
-
:<math>{\hat E}^\prime = \hat I - \hat E</math>,
+
:<big>\({\hat E}^\prime = \hat I - \hat E</math>,
-
kde <math>\hat I</math> představuje operátor identity. Platí přitom vztahy
+
kde <big>\(\hat I</math> představuje operátor identity. Platí přitom vztahy
-
:<math>\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I</math>
+
:<big>\(\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I</math>
-
:<math>\hat E {\hat E}^\prime = 0</math>
+
:<big>\(\hat E {\hat E}^\prime = 0</math>
-
Je-li <math>|\psi_k\rangle</math> vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného [[podprostor]]u tvořeného všemi vektory [[lineární závislost|lineárně závislými]] na <math>|\psi_k\rangle</math> lze vyjádřit jako
+
Je-li <big>\(|\psi_k\rangle</math> vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného [[podprostor]]u tvořeného všemi vektory [[lineární závislost|lineárně závislými]] na <big>\(|\psi_k\rangle</math> lze vyjádřit jako
-
:<math>\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|</math>
+
:<big>\(\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|</math>
-
Jestliže množina vektorů <math>\{|\psi_k\rangle\}</math> tvoří ortonormální [[Báze (algebra)|bázi]] podprostoru <math>H_1</math>, pak projekční operátor do <math>H_1 \subset H</math> vyjádříme jako
+
Jestliže množina vektorů <big>\(\{|\psi_k\rangle\}</math> tvoří ortonormální [[Báze (algebra)|bázi]] podprostoru <big>\(H_1</math>, pak projekční operátor do <big>\(H_1 \subset H</math> vyjádříme jako
-
:<math>\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|</math>
+
:<big>\(\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|</math>
-
Pokud je <math>H_1 = H</math>, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.
+
Pokud je <big>\(H_1 = H</math>, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.
-
:<math>\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I</math>
+
:<big>\(\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I</math>
Tento vztah představuje tzv. ''relaci úplnosti (uzavřenosti)''.
Tento vztah představuje tzv. ''relaci úplnosti (uzavřenosti)''.
== Operace s operátory ==
== Operace s operátory ==
-
[[součet|Součtem]] dvou operátorů <math>\hat A, \hat B</math> získáme operátor <math>\hat C = \hat A + \hat B</math>, pro který platí
+
[[součet|Součtem]] dvou operátorů <big>\(\hat A, \hat B</math> získáme operátor <big>\(\hat C = \hat A + \hat B</math>, pro který platí
-
:<math>\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u</math>
+
:<big>\(\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u</math>
-
Operátor <math>\hat C</math> označíme jako [[součin]] operátorů <math>\hat A</math> a <math>\hat B</math>, tzn. <math>\hat C= \hat A \hat B</math>, pokud pro každé ''u'' platí
+
Operátor <big>\(\hat C</math> označíme jako [[součin]] operátorů <big>\(\hat A</math> a <big>\(\hat B</math>, tzn. <big>\(\hat C= \hat A \hat B</math>, pokud pro každé ''u'' platí
-
:<math>\hat C u = \hat A (\hat B u)</math>
+
:<big>\(\hat C u = \hat A (\hat B u)</math>
-
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. <math>{\hat A}^2 = \hat A \hat A</math>.
+
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. <big>\({\hat A}^2 = \hat A \hat A</math>.
-
Násobení operátorů není [[komutativnost|komutativní]], tzn. v obecném případě pro dva operátory <math>\hat A, \hat B</math> neplatí <math>\hat A \hat B = \hat B \hat A</math>. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů <math>\hat A, \hat B</math>, zavádíme tzv. ''[[Komutátor (algebra)|komutátor]] operátorů''
+
Násobení operátorů není [[komutativnost|komutativní]], tzn. v obecném případě pro dva operátory <big>\(\hat A, \hat B</math> neplatí <big>\(\hat A \hat B = \hat B \hat A</math>. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů <big>\(\hat A, \hat B</math>, zavádíme tzv. ''[[Komutátor (algebra)|komutátor]] operátorů''
-
:<math>[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A</math>
+
:<big>\([\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A</math>
-
Dva ''nekomutativní operátory'' <math>\hat A, \hat B</math> splňují pro některé ''u'' vztah
+
Dva ''nekomutativní operátory'' <big>\(\hat A, \hat B</math> splňují pro některé ''u'' vztah
-
:<math>[\hat A,\hat B] \ne 0</math>
+
:<big>\([\hat A,\hat B] \ne 0</math>
-
Dva komutativní operátory <math>\hat A, \hat B</math> splňují pro libovolné ''u'' vztah
+
Dva komutativní operátory <big>\(\hat A, \hat B</math> splňují pro libovolné ''u'' vztah
-
:<math>[\hat A,\hat B] = 0</math>
+
:<big>\([\hat A,\hat B] = 0</math>
-
Jsou-li lineární hermiteovské operátory <math>\hat A, \hat B</math> komutativní, pak mají společné [[vlastní funkce]].  
+
Jsou-li lineární hermiteovské operátory <big>\(\hat A, \hat B</math> komutativní, pak mají společné [[vlastní funkce]].  
-
Jestliže operátory <math>\hat A, \hat B</math> komutují, tzn. <math>[\hat A,\hat B]=0</math>, pak pro libovolné funkce ''f'', ''g'' platí
+
Jestliže operátory <big>\(\hat A, \hat B</math> komutují, tzn. <big>\([\hat A,\hat B]=0</math>, pak pro libovolné funkce ''f'', ''g'' platí
-
:<math>[f(\hat A),g(\hat B)] = 0</math>
+
:<big>\([f(\hat A),g(\hat B)] = 0</math>
Kromě komutátoru se zavádí také ''[[antikomutátor]] operátorů''
Kromě komutátoru se zavádí také ''[[antikomutátor]] operátorů''
-
:<math>\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A</math>
+
:<big>\(\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A</math>
Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:
Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:
-
:<math>[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]</math>
+
:<big>\([\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]</math>
-
:<math>[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]</math>
+
:<big>\([\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]</math>
-
:<math>[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}</math>
+
:<big>\([\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}</math>
-
:<math>[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B</math>
+
:<big>\([\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B</math>
-
:<math>\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}</math>
+
:<big>\(\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}</math>
-
:<math>\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}</math>
+
:<big>\(\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}</math>
-
:<math>\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C</math>
+
:<big>\(\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C</math>
-
:<math>\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]</math>
+
:<big>\(\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]</math>
Platí také tzv. [[Jacobiho identita]]
Platí také tzv. [[Jacobiho identita]]
-
:<math>[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0</math>
+
:<big>\([\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0</math>
== Příklad ==
== Příklad ==
-
* Příkladem lineárního operátoru může být operátor <math>\hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math>, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její [[derivace|derivaci]] podle [[proměnná|proměnné]] ''x''.
+
* Příkladem lineárního operátoru může být operátor <big>\(\hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math>, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její [[derivace|derivaci]] podle [[proměnná|proměnné]] ''x''.
-
* Nelineárním operátorem je operátor <math>\hat A = \sin</math>. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci ''f'' dostaneme <math>\hat A f = \sin f</math>.
+
* Nelineárním operátorem je operátor <big>\(\hat A = \sin</math>. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci ''f'' dostaneme <big>\(\hat A f = \sin f</math>.
== Použití ==
== Použití ==
Operátory mají významnou aplikaci v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] a při zjednodušování zápisu identit jinde ve [[fyzika|fyzice]]. Používají se také při zápisu počítačových [[Počítačový program|programů]] v [[programovací jazyk|programovacích jazycích]].
Operátory mají významnou aplikaci v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] a při zjednodušování zápisu identit jinde ve [[fyzika|fyzice]]. Používají se také při zápisu počítačových [[Počítačový program|programů]] v [[programovací jazyk|programovacích jazycích]].

Verze z 14. 8. 2022, 14:49


Operátorem \(\hat A</math> nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.

\(\hat A f = g</math>,

kde \(f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}</math>. Působením operátoru \(\hat A</math> na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor \(\hat A</math>, zobrazující prostor X do prostoru Y. Operátor obvykle značíme stříškou, např. \(\hat H, \hat p</math>, apod. Prvek \(f \in \mathbf{X}</math> nazýváme vzorem (originálem), prvek \(g \in \mathbf{Y}</math> obrazem. Množina všech \(g \in \mathbf{Y}</math>, které přísluší všem \(f \in \mathbf{X}</math>, tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru \(\hat A</math>. Obvykle se značí \(\mathrm{Rng}(\hat A)</math>. Pokud operátor není definován pro všechna \(f \in \mathbf{X}</math>, pak množinu těch \(f \in X</math> pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.

Obsah

Funkcionál

Pokud je \(\mathbf{Y}</math> množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor \(\hat A</math> nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.

Vybrané druhy operátorů

Lineární operátor

Lineární operátor \(\hat A</math> je takový operátor, pro který platí

\(\hat A (\sum_i c_i f_i) = \sum_i c_i (\hat A f_i)</math>,

kde \(f_i</math> jsou libovolné funkce a \(c_i</math> jsou libovolné koeficienty. Linearitu operátoru \(\hat A</math> je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty \(c_1, c_2</math> a libovolné funkce \(f_1, f_2, g_1, g_2</math> takové, že \(g_1 = \hat A f_1</math> a \(g_2 = \hat A f_2</math>, pak platí

\(\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2</math>

Antilineární operátor

Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí

\(\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i</math>,

kde \(f_i</math> jsou libovolné funkce a \(c_i^*</math> jsou koeficienty komplexně sdružené k \(c_i</math>.

Operátor identity

Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor) \(\hat I</math>, pro který platí

\(\hat I f = f</math>

Působením operátoru identity \(\hat I</math> tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátory

Pokud pro dva operátory \(\hat A, \hat B</math> z X do Y platí \(\hat A f = \hat B f</math> pro každé \(f \in \mathbf{X}</math>, pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.

Spojitý operátor

Operátor \(\hat A</math> se nazývá spojitý v bodě \(f_0 \in \mathbf{X}</math>, jestliže pro každou posloupnost prvků \(\{f_n\}</math> z \(\mathbf{X}</math>, pro kterou v prostoru \(\mathbf{X}</math> platí \(f_n \to f_0</math>, platí také \(\hat A f_n \to \hat A f_0</math>, tzn. \(g_n \to g_0</math>, v prostoru \(\mathbf{Y}</math>. Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě \(f_1 \in \mathbf{X}</math>, je spojitý v každém bodě \(f \in \mathbf{X}</math>.

Omezený operátor

Operátor \(\hat A</math> nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové \(\mu > 0</math> (nezávislé na f), že pro každé \(f \in \mathbf{X}</math> platí

\({\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}</math>,

kde \({\|f\|}_\mathbf{X}</math> je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a \({\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math> je norma prvku \(\hat A f</math> v prostoru Y. Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem. Infimum čísel \(\mu</math> operátoru \(\hat A</math> představuje tzv. normu operátoru \(\|\hat A\|</math>, tzn.

\(\|\hat A\| = \inf \mu</math>

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel \({\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math> pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

\(\|\hat A\| = \sup_Šablona:\ {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}</math>

Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor

Operátor \(\hat A</math> označíme jako symetrický, jestliže platí

\(\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice. Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský. Operátor \(\hat A</math> označíme jako antihermiteovský, je-li operátor \(\mathrm{i} \hat A</math> hermiteovský. K operátoru \(\hat A</math> existuje sdružený operátor \({\hat A}^+</math>, který splňuje vztah

\(\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle</math>

neboli

\(\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*</math>

Platí vztahy

\(\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|</math>
\({({\hat A}^+)}^+ = \hat A</math>
\({(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+</math>
\({(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+</math>
\({(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+</math>

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

\({\hat A}^+ = \hat A</math>

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní. Samosdružený operátor \(\hat A</math> je pozitivní, když pro každé \(|u\rangle</math> platí

\(\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0</math>

Operátor označujeme jako normální, když platí

\([\hat A,{\hat A}^+] = 0</math>,

kde \([,]</math> označují komutátor.

Inverzní operátor

Operátor \({\hat A}^{-1}</math> nazveme inverzním operátorem k \(\hat A</math>, pokud platí

\(\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I</math>,

kde \(\hat I</math> představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat. Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

\({(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}</math>
\({({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+</math>

Unitární operátor

Operátor \(\hat A</math> označíme jako unitární, pokud platí

\({\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}</math>

neboli

\({\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I</math>,

kde \(\hat I</math> je operátor identity. Pro libovolný unitární operátor \(\hat A</math> platí

\(\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle</math>

Jestliže operátor \(\hat M</math> splňuje vztah

\(\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle</math>,

pak operátor \(\hat M</math> označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah \({\hat M}^+ \hat M = \hat I</math>, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být \(\hat M {\hat M}^+ \ne \hat I</math>.

Projekční operátor

Omezený operátor \(\hat E</math> označíme jako projekční, splňuje-li podmínky

\(\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2</math>

Je-li \(\hat E</math> projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

\({\hat E}^\prime = \hat I - \hat E</math>,

kde \(\hat I</math> představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

\(\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I</math>
\(\hat E {\hat E}^\prime = 0</math>

Je-li \(|\psi_k\rangle</math> vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na \(|\psi_k\rangle</math> lze vyjádřit jako

\(\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|</math>

Jestliže množina vektorů \(\{|\psi_k\rangle\}</math> tvoří ortonormální bázi podprostoru \(H_1</math>, pak projekční operátor do \(H_1 \subset H</math> vyjádříme jako

\(\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|</math>

Pokud je \(H_1 = H</math>, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.

\(\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I</math>

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory

Součtem dvou operátorů \(\hat A, \hat B</math> získáme operátor \(\hat C = \hat A + \hat B</math>, pro který platí

\(\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u</math>

Operátor \(\hat C</math> označíme jako součin operátorů \(\hat A</math> a \(\hat B</math>, tzn. \(\hat C= \hat A \hat B</math>, pokud pro každé u platí

\(\hat C u = \hat A (\hat B u)</math>

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. \({\hat A}^2 = \hat A \hat A</math>. Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory \(\hat A, \hat B</math> neplatí \(\hat A \hat B = \hat B \hat A</math>. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů \(\hat A, \hat B</math>, zavádíme tzv. komutátor operátorů

\([\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A</math>

Dva nekomutativní operátory \(\hat A, \hat B</math> splňují pro některé u vztah

\([\hat A,\hat B] \ne 0</math>

Dva komutativní operátory \(\hat A, \hat B</math> splňují pro libovolné u vztah

\([\hat A,\hat B] = 0</math>

Jsou-li lineární hermiteovské operátory \(\hat A, \hat B</math> komutativní, pak mají společné vlastní funkce. Jestliže operátory \(\hat A, \hat B</math> komutují, tzn. \([\hat A,\hat B]=0</math>, pak pro libovolné funkce f, g platí

\([f(\hat A),g(\hat B)] = 0</math>

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

\(\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A</math>

Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:

\([\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]</math>
\([\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]</math>
\([\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}</math>
\([\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B</math>
\(\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}</math>
\(\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}</math>
\(\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C</math>
\(\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]</math>

Platí také tzv. Jacobiho identita

\([\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0</math>

Příklad

  • Příkladem lineárního operátoru může být operátor \(\hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math>, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
  • Nelineárním operátorem je operátor \(\hat A = \sin</math>. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme \(\hat A f = \sin f</math>.

Použití

Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Oper%C3%A1tor“