Relativistická hmotnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Relativistická hmotnost je hmotnost tělesa, kterou měří pozorovatel v teorii relativity. Již podle speciální teorie relativity není hmotnost stejná pro všechny pozorovatele, ale závisí na tom, jak rychle se těleso vůči pozorovateli pohybuje.

Lze ji spočítat podle vzorce

\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>,

kde \(m_0</math> je klidová hmotnost (nebo také invariantní či vlastní hmotnost), \(v</math> je rychlost tělesa vůči pozorovateli a \(c</math> rychlost světla.

Odvození

Uvažujme nepružnou srážku popsanou ve dvou vztažných soustavách popsaných kartézskými souřadnicemi, přičemž boost, jehož rychlost je \(\omega</math>, probíhá podél osy x. Rozepíšeme zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti v nečárkované a čárkované soustavě jako

\(m_1+m_2 = M,\,</math>

\(v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,</math>

\(m'_1+m'_2 = M',\,</math>

\(v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,</math>

Dále doplníme vztahy pro sčítání rychlostí

\(v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},</math>

\(v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},</math>

\(V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.</math>

Pro jednoduchost položíme \(v_1=0</math>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah

\((m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,</math>

Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát

\(m_1={}^0m_1 f(0),\,</math>

\(m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,</math>

\(m_2={}^0m_2 f(v_2),\,</math>

\(m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,</math>

předchozí rovnici tedy přepíšeme na

\(\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,</math>

Pro \(v_2=\omega</math> tedy (za podmínky \(f(0) = 1</math>) získáme

\(f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},</math>

což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Lze ji spočítat podle vzorce
-:<math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>,
+:<big>\(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math>,
-kde <math>m_0</math> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <math>v</math> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <math>c</math> [[rychlost světla]].
+kde <big>\(m_0</math> je [[klidová hmotnost]] (nebo také [[invariant]]ní či vlastní hmotnost), <big>\(v</math> je [[rychlost]] tělesa vůči pozorovateli a <big>\(c</math> [[rychlost světla]].
 == Odvození ==
-Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <math>\omega</math>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
+Uvažujme [[nepružná srážka|nepružnou srážku]] popsanou ve dvou [[vztažná soustava|vztažných soustavách]] popsaných [[kartézské souřadnice|kartézskými souřadnicemi]], přičemž [[Lorentzova grupa|boost]], jehož rychlost je <big>\(\omega</math>, probíhá podél osy ''x''. Rozepíšeme [[zákon zachování energie]] a [[zákon zachování hybnosti]] v nečárkované a čárkované soustavě jako
-:<math>m_1+m_2 = M,\,</math>
+:<big>\(m_1+m_2 = M,\,</math>
-:<math>v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,</math>
+:<big>\(v_1 m_1+v_2m_2=V M,\,</math>
-:<math>m'_1+m'_2 = M',\,</math>
+:<big>\(m'_1+m'_2 = M',\,</math>
-:<math>v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,</math>
+:<big>\(v'_1 m'_1+v'_2m'_2=V' M'.\,</math>
 Dále doplníme vztahy pro [[skládání rychlostí|sčítání rychlostí]]
-:<math>v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},</math>
+:<big>\(v'_1=\frac{v_1-\omega}{1-\frac{v_1\omega}{c^2}},</math>
-:<math>v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},</math>
+:<big>\(v'_2=\frac{v_2-\omega}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}},</math>
-:<math>V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.</math>
+:<big>\(V'=\frac{V-\omega}{1-\frac{V\omega}{c^2}}.</math>
-Pro jednoduchost položíme <math>v_1=0</math>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
+Pro jednoduchost položíme <big>\(v_1=0</math>. Dosadíme zbylé rovnice do rovnice čtvrté a získáme vztah
-:<math>(m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,</math>
+:<big>\((m_1 m'_2-m'_1 m_2+m_2 m'_1 \,\frac{v_2 \omega}{c^2})=0.\,</math>
 Nyní předpokládejme, že se hmotnost mění jen v závislosti na velikosti rychlosti daného objektu. To je dobře odůvodněný předpoklad, protože kvůli homogenitě prostoru nemůže hmotnost záviset na poloze a kvůli rotační symetrii ani na směru rychlosti. Proto můžeme psát
-:<math>m_1={}^0m_1 f(0),\,</math>
+:<big>\(m_1={}^0m_1 f(0),\,</math>
-:<math>m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,</math>
+:<big>\(m'_1={}^0m_1 f(\omega),\,</math>
-:<math>m_2={}^0m_2 f(v_2),\,</math>
+:<big>\(m_2={}^0m_2 f(v_2),\,</math>
-:<math>m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,</math>
+:<big>\(m'_2={}^0m_2 f(v_2 -\omega),\,</math>
 předchozí rovnici tedy přepíšeme na
-:<math>\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,</math>
+:<big>\(\frac{f(v-\omega)}{f(\omega)f(v_2)}\frac{1}{1-\frac{v_2\omega}{c^2}}=1.\,</math>
-Pro <math>v_2=\omega</math> tedy (za podmínky <math>f(0) = 1</math>) získáme
+Pro <big>\(v_2=\omega</math> tedy (za podmínky <big>\(f(0) = 1</math>) získáme
-:<math>f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},</math>
+:<big>\(f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega^2}{c^2}}},</math>
 což je právě vztah pro relativistickou hmotnost.