Rychlost

Z Multimediaexpo.cz

Rychlost je charakteristika pohybu, která nám sděluje, jakým způsobem se mění poloha tělesa (hmotného bodu) v čase.

Rychlost je vektorová fyzikální veličina, neboť udává jak velikost změny, tak i její směr.

Pokud dva běžci závodí na stejné trati, pak se pohybují po stejné trajektorii a po skončení závodu mají za sebou také stejnou dráhu. Pokud však jeden ze závodníků doběhne do cíle dříve, nebudou pohyby obou závodníků stejné. Závodníci urazí tedy danou dráhu v rozdílném čase. Veličina charakterizující rozdíl v těchto pohybech je právě rychlost.

Rozlišuje se rychlost okamžitá a průměrná.

Pokud není uvedeno jinak, označuje rychlost časovou změnu polohy při mechanickém pohybu. Obecněji se rychlost používá pro označení časové změny jakéhokoliv pohybu (např. rychlost chemické reakce, rychlost společenských změn apod.).

Časová změna rychlosti se nazývá zrychlení, záporné zrychlení se nazývá zpomalení, obě veličiny vyjadřuji změnu resp. přírůstek či úbytek okamžité rychlosti v nekonečně krátkém čase ( jedná se o druhou derivaci dráhy podle času )

Obsah

Značení

  • Značka: \(\mathbf{v}\), popř. \(v\) pro velikost rychlosti (z anglického velocity)

Jednotky

  • Základní jednotka SI: metr za sekundu, m.s-1
  • Další používané jednotky: kilometr za hodinu, km.h-1 (1 m.s-1 = 3,6 km.h-1)
  • V námořní praxi a v letectví se užívá jednotka uzel (anglicky „knot“, zkratka „kn“ nebo „kt“), což je námořní míle za hodinu

Průměrná rychlost

Průměrná rychlost neobsahuje žádnou informaci o tom, jak rychle se těleso pohybuje v daném okamžiku. Říká pouze, jak velkou dráhu urazí za jednotku času.

\(\mathbf{v} = {\mathbf{s} \over t}\),

nebo exaktněji

\(\mathbf{v_p}=\frac{\mathbf{r}\left(t_1\right)-\mathbf{r}\left(t_2\right)}{t_1-t_2}\).

Okamžitá rychlost

Okamžitá rychlost je rychlost v daném časovém okamžiku. Jelikož je časový okamžik nekonečně krátký, vypočte se okamžitá rychlost jako první derivace dráhy podle času, tedy limitním přechodem od průměrné rychlosti:

\(\mathbf{v}= \lim_{t_1\to t_2}\frac{\mathbf{r}\left(t_1\right)-\mathbf{r}\left(t_2\right)}{t_1-t_2}= \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}={\mathrm{d}\mathbf{s} \over \mathrm{d}t}\).

Rychlost při kruhovém pohybu

Při kruhovém pohybu se používá rychlost obvodová nebo úhlová, které se odlišují v jednotkách použitých k vyjádření rychlosti.

Vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlosti

Mezi obvodovou a úhlovou rychlostí platí vztah

v = ω . r ,

kde ω je úhlová rychlost, r je poloměr kružnice.

Tento vztah je speciálním případem vektorového vyjádření úhlové rychlosti.

Relativistická rychlost

Při určování rychlosti v relativistické mechanice se postupuje podobně jako u klasické (nerelativistické) rychlosti.

Pro hmotný bod, který se pohybuje prostorem, lze rychlost ve vztažné soustavě S vyjádřit složkami

\(v_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\)
\(v_y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\)
\(v_z = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\)

Ve vztažné soustavě S' budou složky rychlosti \(\mathbf{v}^\prime\) tohoto hmotného bodu vůči soustavě S' mít následující složky

\(v_x^\prime = \frac{\mathrm{d}x^\prime}{\mathrm{d}t^\prime}\)
\(v_y^\prime = \frac{\mathrm{d}y^\prime}{\mathrm{d}t^\prime}\)
\(v_z^\prime = \frac{\mathrm{d}z^\prime}{\mathrm{d}t^\prime}\)

Toto vyjádření je stejné jako v klasické mechanice. Rozdíl však spočívá v tom, že jednotlivé souřadnice (prostorové i časové) se v teorii relativity transformují odlišně než v klasické fyzice.

Předpokládejme, že soustava S' se vůči soustavě S pohybuje konstantní rychlostí \(w\), Přičemž pohyb probíhá podél os x, x' , které vzájemně splývají.

Složky rychlosti \(\mathbf{v}^\prime\) lze vyjádřit prostřednictvím speciální Lorentzovy transformace. Jejich diferencováním dostaneme

\(\mathrm{d}x^\prime = \frac{\mathrm{d}x-w\mathrm{d}t}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}\)
\(\mathrm{d}y^\prime = \mathrm{d}y\)
\(\mathrm{d}z^\prime = \mathrm{d}z\)
\(\mathrm{d}t^\prime = \frac{\mathrm{d}t-\frac{w}{c^2}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}\)

Dosazením dostaneme transformační vztahy pro složky relativistické rychlosti

\(v_x^\prime = \frac{v_x-w}{1-\frac{wv_x}{c^2}}\)
\(v_y^\prime = v_y\frac{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}{1-\frac{wv_x}{c^2}}\)
\(v_z^\prime = v_z\frac{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}{1-\frac{wv_x}{c^2}}\)

Tyto vztahy představují relativistickou transformaci rychlosti.

Pro malá \(w\) ve srovnání s rychlostí světla \(c\), tzn. \(\frac{w}{c}\to 0\), přechází tyto vztahy ve vztahy pro klasickou (nerelativistickou) transformaci rychlosti

\(v_x^\prime = v_x-w\)
\(v_y^\prime = v_y\)
\(v_z^\prime = v_z\)

Vyjádření rychlosti v soustavě S prostřednictvím složek rychlosti v soustavě S' získáme záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin a záměnou znaménka u rychlosti \(w\), tzn.

\(v_x = \frac{v_x^\prime+w}{1+\frac{wv_x^\prime}{c^2}}\)
\(v_y = v_y^\prime\frac{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}{1+\frac{wv_x^\prime}{c^2}}\)
\(v_z = v_z^\prime\frac{\sqrt{1-\frac{w^2}{c^2}}}{1+\frac{wv_x^\prime}{c^2}}\)

Jedním z důsledků uvedených transformačních vztahů je skutečnost, že rychlost světelného paprsku bude ve všech inerciálních vztažných soustavách stejná, což odpovídá druhému postulátu speciální teorie relativity. Máme-li totiž v soustavě S světelný paprsek pohybující se rychlostí světla \(c\) ve směru osy x, tzn. \(v_x=c\), dostaneme pro rychlost stejného paprsku v soustavě S'

\(v_x^\prime = \frac{c-w}{1-\frac{wc}{c^2}} = c\)

Dalším z důsledků těchto transformačních vztahů je také skutečnost, že pokud je rychlost v menší než rychlost světla \(c\), bude menší než rychlost světla ve všech inerciálních vztažných soustavách. Např. pokud se v soustavě S' pohybuje hmotný bod rychlostí \(v_x^\prime= 0,9c\) ve směru osy x a samotná soustava S' se pohybuje vzhledem k soustavě S rychlostí \(w = 0,8c\) ve stejném směru, byla by podle klasické mechaniky rychlost pohybu hmotného bodu v soustavě S rovna \(v_x=1,7c\), což je rychlost vyšší než rychlost světla \(c\). Relativistická mechanika však dojde k hodnotě \(v_x=\frac{0,9c+0,8c}{1+\frac{(0,8c)(0,9c)}{c^2}}=0,9884c < c\).

Rychlost \(w\) vzhledem k rychlosti světla \(c\) se označuje za podsvětelnou, je-li \(w<c\), světelnou (rychlost světla), je-li \(w=c\), nebo nadsvětelnou při \(w>c\).

Související články

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Rychlost“