V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.

Logaritmická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Logaritmická rovnice|700}}
+
'''Logaritimická rovnice''' je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.
 +
<ref>[http://www.aristoteles.cz/matematika/rovnice/logaritmicke/logaritmicke-rovnice.php Logaritmická rovnice - teorie]</ref>
 +
<ref>[http://www.sps-karvina.cz/www/Ict2005/manual/data/matematika/VYUKA/06.rovnice_nerovnice/7.logaritmicke_rovnice/3.logaritmicke_rovnice.pdf Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady]</ref>
 +
''Příklad, jak může rovnice vypadat:''
 +
 +
<big>\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)</big>
 +
 +
== Řešení logaritmické rovnice ==
 +
<ref>[http://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/logaritmicke-rovnice.php Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
 +
<ref>[http://webvyukacontent.olportal.cz/w-matsbirkass-041215/Logaritmicke_rovnice.htm Logaritmická rovnice - řešené příklady]</ref>
 +
=== Jednoduchá rovnice ===
 +
# <big>\(\log_5 \frac{1}{125} = x\)</big>
 +
# Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{125}\)</big>
 +
# Nyní to budeme řešit jako [[Exponenciální rovnice|exponenciální rovnici]] o stejném základu. Čili <big>\(125\)</big> se dá napsat jako <big>\(5^3\)</big>:<br /><big>\(5^x = \frac{1}{5^3}\)</big>
 +
# Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen <big>\(5\)</big><br /><big>\(5^x = 5^{-3}\)</big>
 +
# <big>\(x = -3\)</big>
 +
Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 +
 +
=== Odstraněním logaritmu ===
 +
# <big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)</big>
 +
## Podmínkou je, že <big>\(3x - 5 > 0\)</big>
 +
## <big>\(3x > 5\)</big>
 +
## <big>\(x > \frac{5}{3}\)</big>
 +
# Z 0 uděláme [[logaritmus]] o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:<br /><big>\(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\)</big>
 +
# <big>\(\frac{1}{7}\)</big> napíšeme jako [[Umocňování|exponent]]:<br /><big>\(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\)</big>
 +
# Nyní můžeme odstranit [[logaritmus]] na obou stranách, protože mají stejné základy:<br /><big>\((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\)</big>
 +
# Z [[exponent]]u <big>\(\frac{1}{7}\)</big> uděláme sedmou [[Odmocnina|odmocninu]]:<br /><big>\(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\)</big>
 +
# Celou rovnici [[Umocňování|umocníme]] na 7:<br /><big>\(3x - 5 = 1\)</big>
 +
# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice|lineární rovnici]]:<br /><big>\(3x = 1 + 5\)</big>
 +
# <big>\(3x = 6\)</big>
 +
# Celou [[Rovnice|rovnici]] vydělíme 3:<br /><big>\(x = 2\)</big>
 +
Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 +
 +
=== S pomocí kalkulačky ===
 +
# <big>\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)</big>
 +
# Vynásobíme závorky s [[Logaritmus|logaritmem]]:<br /><big>\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)</big>
 +
# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[Rovnice|rovnice]]:<br /><big>\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big>
 +
# [[Vytýkání|Vytkneme]] x:<br /><big>\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big>
 +
# Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\)</big>
 +
# <big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)</big>
 +
# Vypočítáme na [[Kalkulačka|kalkulačce]]:<br /><big>\(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\)</big>
 +
# Výsledek je:<br /><big>\(x = 1\)</big>
 +
Tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 +
 +
=== Substituce ===
 +
# <big>\((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)</big><br />Poznámka: <big>\((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)</big>
 +
## Podmínkou je, že <big>\(x > 0\)</big>
 +
# Zavedeme [[Substituce (matematika)|substituci]] <big>\(a = \log_2 x\)</big> čili:<br /><big>\(a^2 - a - 2 = 0\)</big>
 +
# <big>\((a - 2)(a + 1)\)</big>
 +
# Nyní máme výsledky [[Kvadratická rovnice|kvadratické rovnice]]:
 +
## <big>\(a_1 = 2\)</big>
 +
## <big>\(a_2 = -1\)</big>
 +
# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
 +
## <big>\(\log_2 x = 2\)</big>
 +
### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(x = 2^2\)</big>
 +
### <big>\(x = 4\)</big>
 +
## <big>\(\log_2 x = -1\)</big>
 +
### Z pravidla víme, že <big>\(y = \log_a x => a^y = x\)</big> čili:<br /><big>\(x = 2^{-1}\)</big>
 +
### <big>\(x = \frac{1}{2^1}\)</big>
 +
### <big>\(x = \frac{1}{2}\)</big>
 +
Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Logaritmus]]
 +
* [[Rovnice]]
 +
* [[Lineární rovnice]]
 +
* [[Exponenciální rovnice]]
 +
** [[Umocňování]]
 +
* [[Substituce (matematika)]]
 +
* [[Kvadratická rovnice]]
 +
* [[Vytýkání]]
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu. [1] [2]

Příklad, jak může rovnice vypadat:

\((3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4\)

Obsah

Řešení logaritmické rovnice

[3] [4]

Jednoduchá rovnice

  1. \(\log_5 \frac{1}{125} = x\)
  2. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
    \(5^x = \frac{1}{125}\)
  3. Nyní to budeme řešit jako exponenciální rovnici o stejném základu. Čili \(125\) se dá napsat jako \(5^3\):
    \(5^x = \frac{1}{5^3}\)
  4. Upravíme to tak, abychom se měli na pravé straně jen \(5\)
    \(5^x = 5^{-3}\)
  5. \(x = -3\)

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Odstraněním logaritmu

  1. \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0\)
    1. Podmínkou je, že \(3x - 5 > 0\)
    2. \(3x > 5\)
    3. \(x > \frac{5}{3}\)
  2. Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2:
    \(\frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1\)
  3. \(\frac{1}{7}\) napíšeme jako exponent:
    \(log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1\)
  4. Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy:
    \((3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1\)
  5. Z exponentu \(\frac{1}{7}\) uděláme sedmou odmocninu:
    \(\sqrt[7]{3x - 5} = 1\)
  6. Celou rovnici umocníme na 7:
    \(3x - 5 = 1\)
  7. Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici:
    \(3x = 1 + 5\)
  8. \(3x = 6\)
  9. Celou rovnici vydělíme 3:
    \(x = 2\)

Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

S pomocí kalkulačky

  1. \((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)
  2. Vynásobíme závorky s logaritmem:
    \(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)
  3. Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice:
    \(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
  4. Vytkneme x:
    \(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)
  5. Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce:
    \(x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}\)
  6. \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3}\)
  7. Vypočítáme na kalkulačce:
    \(x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8}\)
  8. Výsledek je:
    \(x = 1\)

Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

  1. \((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0\)
    Poznámka: \((\log_2 x)^2 = \log_2^2 x\)
    1. Podmínkou je, že \(x > 0\)
  2. Zavedeme substituci \(a = \log_2 x\) čili:
    \(a^2 - a - 2 = 0\)
  3. \((a - 2)(a + 1)\)
  4. Nyní máme výsledky kvadratické rovnice:
    1. \(a_1 = 2\)
    2. \(a_2 = -1\)
  5. Vyřešíme obě rovnice:
    1. \(\log_2 x = 2\)
      1. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
        \(x = 2^2\)
      2. \(x = 4\)
    2. \(\log_2 x = -1\)
      1. Z pravidla víme, že \(y = \log_a x => a^y = x\) čili:
        \(x = 2^{-1}\)
      2. \(x = \frac{1}{2^1}\)
      3. \(x = \frac{1}{2}\)

Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Související články

Reference

  1. ↑ Logaritmická rovnice - teorie
  2. ↑ Logaritmická rovnice - teorie a řešené příklady
  3. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady
  4. ↑ Logaritmická rovnice - řešené příklady


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Logaritmick%C3%A1_rovnice“