Moment síly

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Moment síly je vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje míru otáčivého účinku síly.

Otáčivý účinek síly se vztahuje vzhledem k danému bodu nebo přímce. Bod, ke kterému se moment síly určuje, se nazývá momentovým bodem. Kolmá vzdálenost \(p\) síly od její osy k bodu je tzv. rameno síly.

Bod, vůči němuž se určuje moment síly, nemusí být bodem ležícím na ose otáčení. Moment síly můžeme určit vzhledem k libovolnému bodu, a to i k bodům, které se nachází mimo zkoumané těleso.

Moment síly je definován jako součin síly a kolmé vzdálenosti osy síly od daného bodu. Velikost momentu síly tedy závisí na velikosti síly a na vzdálenosti od osy otáčení (čím dále, tím větší moment síly).

Směr vektoru momentu síly je kolmý na rovinu síly a polohového vektoru působiště, určuje se pravidlem pravé ruky: Zahnuté prsty pravé ruky ukazují směr otáčivého účinku síly (směr otáčení tělesa), vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

Značení

Symbol veličiny: \(\mathbf{M}\)
Základní jednotka SI: newton metr, značka jednotky: Nm
Další jednotky: newton centimetr Ncm

Výpočet

Nechť působiště síly \(\mathbf{F}\) je vzhledem k libovolnému bodu \(O\) určeno polohovým vektorem \(\mathbf{r}\). Moment síly vzhledem k bodu \(O\) je pak určen vztahem

\(\bar{M} = \bar{r}\times\bar{F}\)

Vektory \(\mathbf{r}\) a \(\mathbf{F}\) definují rovinu, k níž je výsledný vektor \(\mathbf{M}\) kolmý. Směr vektoru \(\mathbf{M}\) určuje směr osy otáčení (rotace). Tato osa prochází bodem \(O\), ke kterému moment síly určujeme.

Pokud je \(\alpha\) úhel mezi vektory \(\mathbf{r}\) a \(\mathbf{F}\), pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako

\(M=Fr\sin\alpha\)

Tento vztah lze chápat dvěma způsoby

\(M=r(F\sin\alpha)\)

V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče \(r\) a složky síly \(F_k=F\sin\alpha\) kolmé na tento průvodič. Složka \(F_k\) má otáčivou schopnost, zatímco složka \(F_r\), která je kolmá na \(F_k\) a rovnoběžná s průvodičem \(\mathbf{r}\), tuto schopnost nemá.

\(M=F(r\sin\alpha)\)

V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost \(F\) a ramene síly \(p=r\sin\alpha\), tedy

\(M=Fp\).

Ramenem síly \(p\) se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu \(O\) (tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).

Vlastnosti

Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je \(\mathbf{M}\) kolmé k průvodiči \(\mathbf{r}\) a současně k síle \(\mathbf{F}\). V případě, že určujeme moment síly k ose, leží \(\mathbf{M}\) ve zvolené ose.

Moment síly vzhledem k ose se definuje jako průmět momentu síly vzhledem k bodu osy do této síly. Moment síly vzhledem k ose tedy leží ve zvolené ose. Působící síla tedy neurčuje směr momentu síly (jako v případě momentu vzhledem k bodu), ale pouze velikost tohoto momentu.

Při řešení se postupuje tak, že působištěm síly se proloží rovina kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly \(\mathbf{F}\) je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka \(\mathbf{F}^\prime\), která je odpovědná za otáčení. Průsečík osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží \(\mathbf{F}^\prime\), je bodem, k němuž se určí moment síly.

Působí-li ve společném působišti několik sil \(\mathbf{F}_i\), je jejich celkový účinek dán výslednicí sil \(\mathbf{R} = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\) a výsledný moment je dán vztahem \(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{R} = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n)\).

Z distributivního zákona pro vektorový součin pak dostaneme

\(\mathbf{M} = (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1)+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2)+\cdots+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_n) = \mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2+\cdots+\mathbf{M}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i\)

Výsledný moment sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je tedy roven vektorovému součtu momentů všech složek k danému bodu.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Moment síly''' je [[vektor|vektorová]] [[fyzikální veličina]], která vyjadřuje míru [[rotace|otáčivého]] účinku [[Síla|síly]].
-Otáčivý účinek síly se vztahuje vzhledem k danému [[bod]]u nebo [[přímka|přímce]]. [[Bod]], ke kterému se moment síly určuje, se nazývá '''momentovým bodem'''. [[kolmost|Kolmá]] [[vzdálenost]] <math>p</math> síly od její osy k bodu je tzv. '''rameno síly'''.
+Otáčivý účinek síly se vztahuje vzhledem k danému [[bod]]u nebo [[přímka|přímce]]. [[Bod]], ke kterému se moment síly určuje, se nazývá '''momentovým bodem'''. [[kolmost|Kolmá]] [[vzdálenost]] <big>\(p\)</big> síly od její osy k bodu je tzv. '''rameno síly'''.
 Bod, vůči němuž se určuje moment síly, nemusí být bodem ležícím na [[osa otáčení|ose otáčení]]. Moment síly můžeme určit vzhledem k libovolnému bodu, a to i k bodům, které se nachází mimo zkoumané [[těleso]].
@@ Řádka 10: / Řádka 10: @@
 ==Značení==
-* Symbol veličiny: <math>\mathbf{M}</math>
+* Symbol veličiny: <big>\(\mathbf{M}\)</big>
 * Základní [[Fyzikální jednotka|jednotka]] [[soustava SI|SI]]: [[newton]] [[metr]], značka jednotky: ''Nm''
 * Další jednotky: newton centimetr ''Ncm''
 ==Výpočet==
-Nechť [[působiště síly]] <math>\mathbf{F}</math> je vzhledem k libovolnému bodu <math>O</math> určeno [[polohový vektor|polohovým vektorem]] <math>\mathbf{r}</math>. Moment síly vzhledem k bodu <math>O</math> je pak určen vztahem
+Nechť [[působiště síly]] <big>\(\mathbf{F}\)</big> je vzhledem k libovolnému bodu <big>\(O\)</big> určeno [[polohový vektor|polohovým vektorem]] <big>\(\mathbf{r}\)</big>. Moment síly vzhledem k bodu <big>\(O\)</big> je pak určen vztahem
-:<math>\bar{M} = \bar{r}\times\bar{F}</math>
+:<big>\(\bar{M} = \bar{r}\times\bar{F}\)</big>
-Vektory <math>\mathbf{r}</math> a <math>\mathbf{F}</math> definují [[rovina|rovinu]], k níž je výsledný vektor <math>\mathbf{M}</math> [[kolmost|kolmý]]. [[Směr]] vektoru <math>\mathbf{M}</math> určuje směr [[osa otáčení|osy otáčení (rotace)]]. Tato osa prochází bodem <math>O</math>, ke kterému moment síly určujeme.
+Vektory <big>\(\mathbf{r}\)</big> a <big>\(\mathbf{F}\)</big> definují [[rovina|rovinu]], k níž je výsledný vektor <big>\(\mathbf{M}\)</big> [[kolmost|kolmý]]. [[Směr]] vektoru <big>\(\mathbf{M}\)</big> určuje směr [[osa otáčení|osy otáčení (rotace)]]. Tato osa prochází bodem <big>\(O\)</big>, ke kterému moment síly určujeme.
-Pokud je <math>\alpha</math> [[úhel]] mezi vektory <math>\mathbf{r}</math> a <math>\mathbf{F}</math>, pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako
+Pokud je <big>\(\alpha\)</big> [[úhel]] mezi vektory <big>\(\mathbf{r}\)</big> a <big>\(\mathbf{F}\)</big>, pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako
-:<math>M=Fr\sin\alpha</math>
+:<big>\(M=Fr\sin\alpha\)</big>
 Tento vztah lze chápat dvěma způsoby
-*<math>M=r(F\sin\alpha)</math>
+*<big>\(M=r(F\sin\alpha)\)</big>
-:V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče <math>r</math> a složky síly <math>F_k=F\sin\alpha</math> kolmé na tento průvodič. Složka <math>F_k</math> má otáčivou schopnost, zatímco složka <math>F_r</math>, která je kolmá na <math>F_k</math> a [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s průvodičem <math>\mathbf{r}</math>, tuto schopnost nemá.
+:V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče <big>\(r\)</big> a složky síly <big>\(F_k=F\sin\alpha\)</big> kolmé na tento průvodič. Složka <big>\(F_k\)</big> má otáčivou schopnost, zatímco složka <big>\(F_r\)</big>, která je kolmá na <big>\(F_k\)</big> a [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s průvodičem <big>\(\mathbf{r}\)</big>, tuto schopnost nemá.
-*<math>M=F(r\sin\alpha)</math>
+*<big>\(M=F(r\sin\alpha)\)</big>
-:V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost <math>F</math> a ramene síly <math>p=r\sin\alpha</math>, tedy
+:V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost <big>\(F\)</big> a ramene síly <big>\(p=r\sin\alpha\)</big>, tedy
-::<math>M=Fp</math>.
+::<big>\(M=Fp\)</big>.
-:Ramenem síly <math>p</math> se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu <math>O</math> (tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).
+:Ramenem síly <big>\(p\)</big> se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu <big>\(O\)</big> (tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).
 ==Vlastnosti==
-* Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je <math>\mathbf{M}</math> kolmé k průvodiči <math>\mathbf{r}</math> a současně k síle <math>\mathbf{F}</math>. V případě, že určujeme moment síly k ose, leží <math>\mathbf{M}</math> ve zvolené ose.
+* Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je <big>\(\mathbf{M}\)</big> kolmé k průvodiči <big>\(\mathbf{r}\)</big> a současně k síle <big>\(\mathbf{F}\)</big>. V případě, že určujeme moment síly k ose, leží <big>\(\mathbf{M}\)</big> ve zvolené ose.
 * Moment síly vzhledem k ose se definuje jako průmět momentu síly vzhledem k bodu osy do této síly. Moment síly vzhledem k ose tedy leží ve zvolené ose. Působící síla tedy neurčuje směr momentu síly (jako v případě momentu vzhledem k bodu), ale pouze velikost tohoto momentu.
-* Při řešení se postupuje tak, že [[působiště síly|působištěm síly]] se proloží [[rovina]] kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly <math>\mathbf{F}</math> je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka <math>\mathbf{F}^\prime</math>, která je odpovědná za otáčení. [[Průsečík]] osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží <math>\mathbf{F}^\prime</math>, je bodem, k němuž se určí moment síly.
+* Při řešení se postupuje tak, že [[působiště síly|působištěm síly]] se proloží [[rovina]] kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly <big>\(\mathbf{F}\)</big> je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka <big>\(\mathbf{F}^\prime\)</big>, která je odpovědná za otáčení. [[Průsečík]] osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží <big>\(\mathbf{F}^\prime\)</big>, je bodem, k němuž se určí moment síly.
-* Působí-li ve společném působišti několik sil <math>\mathbf{F}_i</math>, je jejich celkový účinek dán [[výslednice sil|výslednicí sil]] <math>\mathbf{R} = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i</math> a výsledný moment je dán vztahem <math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{R} = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n)</math>.
+* Působí-li ve společném působišti několik sil <big>\(\mathbf{F}_i\)</big>, je jejich celkový účinek dán [[výslednice sil|výslednicí sil]] <big>\(\mathbf{R} = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i\)</big> a výsledný moment je dán vztahem <big>\(\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{R} = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n)\)</big>.
 Z [[distributivita|distributivního zákona]] pro [[vektorový součin]] pak dostaneme
-:<math>\mathbf{M} = (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1)+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2)+\cdots+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_n) = \mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2+\cdots+\mathbf{M}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i</math>
+:<big>\(\mathbf{M} = (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1)+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2)+\cdots+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_n) = \mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2+\cdots+\mathbf{M}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i\)</big>
 Výsledný moment sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je tedy roven [[vektorový součet|vektorovému součtu]] momentů všech složek k danému bodu.