Rapidita

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Rapidita|700}}
+
'''Rapidita''' je [[bezrozměrná veličina|bezrozměrná]] fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako [[rychlost]]. Zatímco rychlost objektů je podle [[speciální teorie relativity]] shora omezena [[rychlost světla|rychlostí světla ve vakuu]] <big>\(c\)</big>, rapidita může být libovolně velká. Pro objekty v klidu má hodnotu 0 a pro pomalé objekty je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost objektu přibližuje <big>\(c\)</big>, roste rapidita nade všechny meze.
 +
Rapidita <big>\(r\)</big> je definována vztahem
 +
:<big>\(\operatorname{tgh}\, r = \beta \,,\)</big>
 +
kde <big>\(\beta = v/c\)</big> je [[bezrozměrná rychlost]] a funkce <big>\(\operatorname{tgh}\)</big> je [[hyperbolický tangens]]. Známe-li rychlost, můžeme rapiditu spočítat pomocí funkce [[hyperbolický arkus tangens]], kterou lze vyjádřit [[přirozený logaritmus|přirozeným logaritmem]]
 +
:<big>\(r = \operatorname{arctgh}\, \beta = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \,.\)</big>
 +
 +
== Příklady ==
 +
Rozvojem do [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než <big>\(c\)</big> je <big>\(r\)</big> velmi přesně rovno <big>\(\beta\)</big>. Například raketa pohybující se rychlostí 8&nbsp;km/s má bezrozměrnou rychlost <big>\(\beta = 0{,}0000266851276159\)</big> a rapiditu <big>\(r = 0{,}0000266851276222\)</big>, liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v [[přirozené jednotky|přirozených jednotkách]].
 +
 +
Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než <big>\(\beta\)</big>. Například při polovině rychlosti světla je <big>\(\beta = 0{,}5\)</big>, zatímco <big>\(r = 0{,}5493\)</big>. Rapidita <big>\(r = 1\)</big> odpovídá rychlosti <big>\(\beta = 0{,}7616\)</big>. [[Proton]]y v prstenci [[LHC]] urychlené na energii 3,5&nbsp;[[elektronvolt|TeV]] mají rychlost <big>\(\beta = 0{,}9999999282\)</big> a rapiditu <big>\(r = 8{,}57\)</big>. Při dalším urychlení na 7&nbsp;TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, <big>\(\beta = 0{,}9999999820\)</big>, ale rapidita vzroste na <big>\(r = 9{,}26\)</big>.
 +
 +
{| class="wikitable"
 +
![[Rychlost]] / m.s<sup>-1</sup>
 +
![[Bezrozměrná rychlost]]
 +
!Rapidita
 +
![[Lorentzův faktor]]
 +
!Poznámka
 +
|-
 +
|0
 +
|0
 +
|0
 +
|1
 +
|těleso v klidu
 +
|-
 +
|20 000
 +
|0,000066713
 +
|0,000066713
 +
|1,00000000223
 +
|obvyklá rychlost [[planetární sonda|planetární sondy]]
 +
|-
 +
|29 979 246
 +
|0,1
 +
|0,100335
 +
|1,00504
 +
|relativistické jevy se začínají projevovat
 +
|-
 +
|123 932 393
 +
|0,413394
 +
|0,439698
 +
|1,0982
 +
|světlo v diamantu  ([[index lomu|n]]=2,419)
 +
|-
 +
|149 896 229
 +
|0,5
 +
|0,54931
 +
|1,155
 +
|
 +
|-
 +
|224 844 344
 +
|0,75
 +
|0,97296
 +
|1,512
 +
|
 +
|-
 +
|224 900 000
 +
|0,75019
 +
|0,97338
 +
|1,512
 +
|světlo ve vodě ([[index lomu|n]]=1,3330)
 +
|-
 +
|228 320 184
 +
|0,76159
 +
|1
 +
|1,543
 +
|
 +
|-
 +
|259 627 884
 +
|0,86603
 +
|1,3170
 +
|2
 +
|[[kinetická energie]] je rovna [[E=mc²|klidové]]
 +
|-
 +
|269 813 212
 +
|0,9
 +
|1,4722
 +
|2,2942
 +
|
 +
|-
 +
|296 794 533
 +
|0,99
 +
|2,6467
 +
|7,0888
 +
|
 +
|-
 +
|299 492 666
 +
|0,999
 +
|3,8002
 +
|22,366
 +
|
 +
|-
 +
|299 762 479
 +
|0,9999
 +
|4,9517
 +
|70,712
 +
|
 +
|-
 +
|299 789 460
 +
|0,99999
 +
|6,1030
 +
|223,6
 +
|
 +
|-
 +
|299 792 453
 +
|0,999999982044
 +
|9,2642
 +
|7 463
 +
|7&nbsp;TeV [[proton]] ([[LHC]])
 +
|-
 +
|299 792 457,9964
 +
|0,999999999988
 +
|12,92
 +
|204 500
 +
|104,5&nbsp;GeV [[elektron]] ([[LEP]], rekord v laboratoři)
 +
|-
 +
|299&nbsp;792&nbsp;457,999&nbsp;999&nbsp;999&nbsp;999&nbsp;997
 +
|0,9999999999999999999999902
 +
|26,8
 +
|3,2×10<sup>11</sup>
 +
|vzácný 3×10<sup>20</sup>&nbsp;eV proton [[kosmické záření|kosmického záření]]
 +
|-
 +
|299 792 458,0
 +
|1
 +
|<big>\(\infty\)</big>
 +
|<big>\(\infty\)</big>
 +
|světlo ve vakuu
 +
|-
 +
|}
 +
 +
== Skládání pohybů ==
 +
V [[klasická fyzika|klasické fyzice]] se rychlosti [[Skládání rychlostí|skládají]] prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce [[Rovnoměrný přímočarý pohyb|rovnoměrně]] směrem od sebe rychlostmi <big>\(v_1\)</big> a <big>\(v_2\)</big>, pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí <big>\(v_1+v_2\)</big>. Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s <big>\(c\)</big>. Pro [[skládání rychlostí]] ve speciální teorii relativity platí vztah
 +
:<big>\(v_{12}=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2} \,.\)</big>
 +
Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí
 +
:<big>\(\beta_{12}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}.\)</big>
 +
Lze ukázat, že
 +
:<big>\(\mathrm{arctgh}\, \beta_{12} = \mathrm{arctgh}\, \beta_1 + \mathrm{arctgh}\, \beta_2 \,,\)</big>
 +
neboli
 +
:<big>\(r_{12} = r_1+r_2 \,.\)</big>
 +
To znamená, že rapidity lze jednoduše ''sčítat'' jak v klasickém tak i relativistickém případě. Můžeme například urychlit jeden proton na 3,5&nbsp;TeV, druhý na 7&nbsp;TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83. <ref group="pozn">Při nárazu do stojícího terče je tak vysoká rapidita technicky nedosažitelná. To je důvod, proč LHC používá dva vstřícné svazky částic. Oba svazky v LHC mají před srážkou přesně stejnou rapiditu. Zde jsou použity protony s různou energií jen jako příklad.</ref> Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity ''odečítají'', tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7&nbsp;TeV dohání druhý proton o energii 3,5&nbsp;TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.
 +
 +
== Poznámky ==
 +
<references group="pozn"/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Fyzikální veličiny]]
[[Kategorie:Fyzikální veličiny]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu \(c\), rapidita může být libovolně velká. Pro objekty v klidu má hodnotu 0 a pro pomalé objekty je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost objektu přibližuje \(c\), roste rapidita nade všechny meze.

Rapidita \(r\) je definována vztahem

\(\operatorname{tgh}\, r = \beta \,,\)

kde \(\beta = v/c\) je bezrozměrná rychlost a funkce \(\operatorname{tgh}\) je hyperbolický tangens. Známe-li rychlost, můžeme rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem

\(r = \operatorname{arctgh}\, \beta = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \,.\)

Příklady

Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než \(c\) je \(r\) velmi přesně rovno \(\beta\). Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost \(\beta = 0{,}0000266851276159\) a rapiditu \(r = 0{,}0000266851276222\), liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.

Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než \(\beta\). Například při polovině rychlosti světla je \(\beta = 0{,}5\), zatímco \(r = 0{,}5493\). Rapidita \(r = 1\) odpovídá rychlosti \(\beta = 0{,}7616\). Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost \(\beta = 0{,}9999999282\) a rapiditu \(r = 8{,}57\). Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, \(\beta = 0{,}9999999820\), ale rapidita vzroste na \(r = 9{,}26\).

Rychlost / m.s-1 Bezrozměrná rychlost Rapidita Lorentzův faktor Poznámka
0 0 0 1 těleso v klidu
20 000 0,000066713 0,000066713 1,00000000223 obvyklá rychlost planetární sondy
29 979 246 0,1 0,100335 1,00504 relativistické jevy se začínají projevovat
123 932 393 0,413394 0,439698 1,0982 světlo v diamantu (n=2,419)
149 896 229 0,5 0,54931 1,155
224 844 344 0,75 0,97296 1,512
224 900 000 0,75019 0,97338 1,512 světlo ve vodě (n=1,3330)
228 320 184 0,76159 1 1,543
259 627 884 0,86603 1,3170 2 kinetická energie je rovna klidové
269 813 212 0,9 1,4722 2,2942
296 794 533 0,99 2,6467 7,0888
299 492 666 0,999 3,8002 22,366
299 762 479 0,9999 4,9517 70,712
299 789 460 0,99999 6,1030 223,6
299 792 453 0,999999982044 9,2642 7 463 7 TeV proton (LHC)
299 792 457,9964 0,999999999988 12,92 204 500 104,5 GeV elektron (LEP, rekord v laboratoři)
299 792 457,999 999 999 999 997 0,9999999999999999999999902 26,8 3,2×1011 vzácný 3×1020 eV proton kosmického záření
299 792 458,0 1 \(\infty\) \(\infty\) světlo ve vakuu

Skládání pohybů

V klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi \(v_1\) a \(v_2\), pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí \(v_1+v_2\). Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s \(c\). Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah

\(v_{12}=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2} \,.\)

Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí

\(\beta_{12}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}.\)

Lze ukázat, že

\(\mathrm{arctgh}\, \beta_{12} = \mathrm{arctgh}\, \beta_1 + \mathrm{arctgh}\, \beta_2 \,,\)

neboli

\(r_{12} = r_1+r_2 \,.\)

To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Můžeme například urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83. [pozn 1] Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.

Poznámky

  1. ↑ Při nárazu do stojícího terče je tak vysoká rapidita technicky nedosažitelná. To je důvod, proč LHC používá dva vstřícné svazky částic. Oba svazky v LHC mají před srážkou přesně stejnou rapiditu. Zde jsou použity protony s různou energií jen jako příklad.


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Rapidita“