Vedení tepla

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Vedení (kondukce) tepla je jeden ze způsobů šíření tepla v tělesech, při kterém částice látky v oblasti s vyšší střední kinetickou energií předávají část své pohybové energie prostřednictvím vzájemných srážek částicím v oblasti s nižší střední kinetickou energií. Částice se přitom nepřemísťují, ale kmitají kolem svých rovnovážných poloh.

Vedení tepla je nejčastější způsob šíření tepla v pevných tělesech, jejichž různé části mají různé teploty. Teplo se vedením šíří také v kapalinách a plynech, kde se však uplatňuje také přenos tepla prouděním.

Rychlost vedení tepla určuje tzv. tepelnou vodivost. Porovnat látky podle jejich tepelné vodivosti umožňuje veličina součinitel tepelné vodivosti. Podle tohoto součinitele se látky dělí na

• tepelné vodiče - látky s vysokou rychlostí vedení tepla a velkým součinitelem tepelné vodivosti
• tepelné izolanty - látky s nízkou rychlostí vedení tepla a malým součinitelem tepelné vodivosti

Vedení tepla lze rozdělit na

• ustálené (stacionární) vedení tepla - teplotní rozdíl mezi jednotlivými částmi tělesa se v čase nemění
• neustálené (nestacionární) vedení tepla - teplotní rozdíly mezi jednotlivými částmi tělesa mezi kterými se teplo přenáší se postupně vyrovnávají

Ustálené vedení tepla

Ustálené vedení tepla lze demonstrovat např. na tyči délky \(d\), jejíž jeden konec je udržován na teplotě \(t_1\) a druhý konec je udržován na teplotě \(t_2\). Teplotní rozdíl \(t_2-t_1\) je tedy stálý teplota klesá rovnoměrně od teplejšího konce k chladnějšímu. Podíl

\(\frac{t_2-t_1}{d}\)

se nazývá teplotní spád (gradient).

Množství tepla \(Q\), které za těchto podmínek projde libovolným kolmým průřezem \(S\) tyče za dobu \(\tau\), je roven

\(Q = \lambda S\frac{t_2-t_1}{d}\tau\)

Konstanta úměrnosti \(\lambda\) je součinitel tepelné vodivosti (tepelná vodivost).

Teplo procházející plochou určuje tzv. tepelný tok. Množství tepla \(Q\), které projde plochou \(S\) za čas \(\tau\) se označuje jako hustota tepelného toku

\(q = \frac{Q}{\tau S}\)

Podle předchozích vztahů tedy při ustáleném stavu platí

\(q = \lambda\frac{t_2-t_1}{d}\)

Pokud tloušťku vrstvy (tedy délku tyče) \(d\) zmenšujeme na \(\mathrm{d}x\), změní se na této tenké vrstvě teplota o \(-\mathrm{d}t\). Vztah pro hustotu tepelného toku můžeme tedy přepsat

\(q = -\lambda \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\)

Teplotní gradient \(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\) se však může měnit nejen ve směru osy \(x\), ale také v ostatních směrech. Jedná se tedy o vektorovou veličinu, což lze s pomocí operátoru gradientu vyjádřit jako

\(\mathbf{q} = -\lambda\cdot\,\operatorname{grad}\,t\)

Z tohoto vztahu je vidět, že průběh teploty v rovinné desce je při ustáleném proudění tepla lineární. Předchozí vztahy lze využít při řešení problému průchodu tepla rozhraním. Tento vztah bývá také označován jako Fourierův zákon.

Pokud se těleso (např. deska), kterým teplo prostupuje skládá z \(n\) vrstev o různé tepelné vodivosti \(\lambda_q\) a tloušťce \(d_q\) pro \(q\)-tou vrstvu, pak za ustáleného stavu musí být hustota tepelného proudu ve všech vrstvách stejná, tzn.

\(q = \frac{\lambda_1}{d_1}(t_1-t_2) = \frac{\lambda_2}{d_2}(t_2-t_3) = \cdots = \frac{\lambda_n}{d_n}(t_n-t_{n+1})\)

Pro celkový rozdíl teplot pak dostáváme

\(t_1-t_{n+1} = (t_1-t_2)+(t_2-t_3)+\cdots +(t_n-t_{n+1}) = q\frac{d_1}{\lambda_1}+q\frac{d_2}{\lambda_2}+\cdots +q\frac{d_n}{\lambda_n} = q\sum_{k=1}^n\frac{d_k}{\lambda_k}\)

Hustotu tepelného toku takovou deskou lze tedy vyjádřit jako

\(q = \frac{t_1-t_{n+1}}{\sum_{k=1}^n \frac{d_k}{\lambda_k}}\)

Podíl \(\frac{d_k}{\lambda_k}\) se nazývá měrný tepelný odpor vrstvy.

Neustálené vedení tepla

Při neustáleném vedení tepla dochází ke změně teplot v jednotlivých částech tělesa.

Uvažujme případ vedení tepla deskou, které nastane při náhlém zvýšení teploty na jednom z povrchů desky. Pokud desku rozdělíme na vrstvy o tloušťce \(\Delta x\), nebude hustota tepelného toku ve všech vrstvách stejná jako při ustáleném vedení tepla. Důvodem je to, že část tepla, které do vrstvy vstoupí se spotřebuje na ohřátí vrstvy. O tuto část tepla je pak tok v následující vrstvě ochuzen.

Nechť tedy do vrstvy o tloušťce \(\Delta x\) a ploše \(S\) vstoupí za čas \(\Delta\tau\) teplo \(Q_1=q_1S\Delta\tau\) a ze stejné vrstvy vystoupí za stejný čas teplo \(Q_2=q_2S\Delta\tau\), kde \(q_1\) a \(q_2\) jsou hustoty tepelného toku na vstupní a výstupní ploše. Teplota vrstvy se tedy zvýší o teplo, které je rozdílem těchto tepel, tzn.

\(Q_1-Q_2=(q_1-q_2)S\Delta\tau =-\Delta qS\Delta\tau\)

Pokud je měrná tepelná kapacita vrstvy \(c\) a její hmotnost je \(\Delta m=\rho S\Delta x\), kde \(\rho\) je hustota vrstvy, pak platí

\(Q_1-Q_2 = c\Delta m\Delta t\)

Z předchozích vztahů pak dostaneme

\(-\Delta q\Delta\tau = c\rho\Delta x\Delta t\)

Derivací vztahu \(q=-\lambda\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\) získáme

\(\frac{\part q}{\part x} = -\lambda\frac{\part^2 t}{\part x^2}\)

Pro časovou změnu střední teploty vrstvy dostaneme z těchto vztahů (v limitě pro \(\Delta x\to 0\) a \(\Delta \tau\to 0\)) získáme výraz

\(\frac{\part t}{\part \tau} = \frac{\lambda}{c\rho}\frac{\part^2 t}{\part x^2}\)

Tento vztah představuje jednorozměrnou diferenciální rovnici vedení tepla. Tuto rovnici lze jednoduše zobecnit na trojrozměrný případ

\(\frac{\part t}{\part \tau} = \frac{\lambda}{c\rho}\left(\frac{\part^2 t}{\part x^2}+\frac{\part^2 t}{\part y^2}+\frac{\part^2 t}{\part z^2}\right)\)

Teplotní vodivost

Pro zjednodušení se zavádí veličina

\(a = \frac{\lambda}{c\rho}\),

která je označována jako teplotní vodivost (součinitel teplotní vodivosti). Tato veličina ukazuje, jak látka vede teplo, tzn. jak snadno se v ní vyrovnávají teplotní rozdíly.

Rovnice vedení tepla

Matematická formulace nestacionárního vedení tepla umožňuje obecné vyjádření diferenciální rovnice vedení tepla. Jedná se o pravděpodobně nejznámější příklad parciální diferenciální rovnice parabolického typu, která je označovaná jako rovnice vedení tepla. V obecném vyjádření se zapisuje jako

\(\frac{\part u}{\part t} = \frac{\part^2 u}{\part x_1^2} + \frac{\part^2 u}{\part x_2^2} + ... + \frac{\part^2 u}{\part x_n^2} + f(x_1,x_2,...,x_n,t)\)

Tato nehomogenní rovnice je pojmenována podle toho, že popisuje vedení tepla v \(n\)-rozměrném prostoru s časem \(t\).

Ve speciálním případě pro \(n=3\) dostaneme

\(\frac{\part u}{\part t} = \frac{\part^2 u}{\part x^2} + \frac{\part^2 u}{\part y^2} + \frac{\part^2 u}{\part z^2} + f(x,y,z,t)\)

Pokud v rovnici vedení tepla platí \(f=0\), pak dostaneme homogenní rovnici vedení tepla

\(\frac{\part u}{\part t} = \frac{\part^2 u}{\part x_1^2} + \frac{\part^2 u}{\part x_2^2} + ... + \frac{\part^2 u}{\part x_n^2}\)-

Z fyzikálního hlediska se jedná o případ, kdy se ve vyšetřované oblasti nenachází žádné zdroje tepla.

Související články

• Termika
• Šíření tepla
• Proudění tepla
• Tepelné záření

Externí odkazy