Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Trojúhelníková nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Trojúhelníková nerovnost|700}}
+
'''Trojúhelníková nerovnost''' v [[Matematika|matematice]] tvrdí, že součet [[Délka|délek]] dvou [[Strana (geometrie)|stran]] [[trojúhelník]]u není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z ''A'' do ''B'' a pak do ''C'' není kratší než cesta z ''A'' přímo do ''C''. Tato [[nerovnost (matematika)|nerovnost]] je [[Matematická věta|větou]] v mnoha oblastech matematiky, např. [[Reálné číslo|reálných číslech]], [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]]. Slouží jako [[axiom]] pro zavedení pojmu [[normovaný vektorový prostor]] a [[metrický prostor]].
 +
== Reálná a komplexní čísla ==
 +
 +
V [[Těleso (algebra)|tělese]] reálných a [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] platí trojúhelníková nerovnost pro [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]] libovolných čísel <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> ve tvaru
 +
 +
<big>\(|x + y| \leq |x| + |y|\)</big>
 +
 +
=== Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech ===
 +
 +
Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí
 +
 +
<big>\(x \leq |x|\)</big> a zároveň
 +
 +
<big>\(-x \leq |x|\)</big>.
 +
 +
Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> a sečteme-li je, dostáváme
 +
 +
<big>\(x + y \leq |x| + |y|\)</big> a
 +
 +
<big>\(- x - y \leq |x| + |y|\)</big>.
 +
 +
Z definice absolutní hodnoty <big>\(|x + y|\)</big> víme, že může nabývat jen hodnot <big>\(x + y\)</big> nebo <big>\(- x - y\)</big>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
 +
 +
== Normovaný vektorový prostor ==
 +
 +
V [[Normovaný vektorový prostor|normovaném vektorovém prostoru]] <big>\(V\)</big> s [[Norma|normou]] <big>\(\| \cdot \|\)</big> má trojúhelníková nerovnost tvar
 +
 +
<big>\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)</big>
 +
 +
pro každé dva [[vektor]]y <big>\(x\)</big> a <big>\(y\)</big> z <big>\(V\)</big>.
 +
 +
=== L<sup>p</sup> prostory ===
 +
 +
V [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]] se trojúhelníkové nerovnosti říká [[Minkowského nerovnost]]. Díky ní se ukazuje, že L<sup>p</sup> prostory jsou normované vektorové prostory.
 +
 +
== Metrický prostor ==
 +
 +
V [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] <big>\(M\)</big> s [[Metrika|metrikou]] <big>\(d\)</big> má trojúhelníková nerovnost tvar:
 +
 +
<big>\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)</big>
 +
 +
to jest, že vzdálenost <big>\(x\)</big> a <big>\(z\)</big> není větší než součet vzdálenosti z <big>\(x\)</big> do <big>\(y\)</big> a vzdálenosti z <big>\(y\)</big> do <big>\(z\)</big>.
 +
 +
== Důsledky ==
 +
 +
Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar
 +
 +
<big>\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\)</big> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
 +
 +
<big>\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\|\)</big> pro normované vektorové prostory a
 +
 +
<big>\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z)\)</big> pro metrické prostory.
 +
 +
Z těchto tvarů už plyne, že [[absolutní hodnota]], norma i [[Funkce (matematika)|funkce]] <big>\(d(x, \cdot)\)</big> jsou [[Lipschitzovská funkce|Lipschitzovské]], tedy i [[Spojitá funkce|spojité funkce]].
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
 +
[[Kategorie:Nerovnosti]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Obsah

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel \(x\) a \(y\) ve tvaru

\(|x + y| \leq |x| + |y|\)

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

\(x \leq |x|\) a zároveň

\(-x \leq |x|\).

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla \(x\) a \(y\) a sečteme-li je, dostáváme

\(x + y \leq |x| + |y|\) a

\(- x - y \leq |x| + |y|\).

Z definice absolutní hodnoty \(|x + y|\) víme, že může nabývat jen hodnot \(x + y\) nebo \(- x - y\). Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru \(V\) s normou \(\| \cdot \|\) má trojúhelníková nerovnost tvar

\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)

pro každé dva vektory \(x\) a \(y\) z \(V\).

Lp prostory

V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru \(M\) s metrikou \(d\) má trojúhelníková nerovnost tvar:

\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)

to jest, že vzdálenost \(x\) a \(z\) není větší než součet vzdálenosti z \(x\) do \(y\) a vzdálenosti z \(y\) do \(z\).

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\) pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|\) pro normované vektorové prostory a

\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)\) pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce \(d(x, \cdot)\) jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Troj%C3%BAheln%C3%ADkov%C3%A1_nerovnost“