Teorie míry

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá z nejobecnějšího možného hlediska problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má velmi úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Míra

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definice

Funkce μ, která je definovaná na σ-algebře Σ, a jejíž obor hodnot je podmnožinou intervalu \([0,\infty]\), se nazývá míra, jestliže platí:

míra prázdné množiny je nulová: \(\mu(\emptyset)=0\)
σ-aditivita: pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin \(A_{0},A_{1},...\) je \(\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})\)

Vlastnosti míry

\( \mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)\)
\( \mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)
\( \mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)

Příklady měr

Diracova míra \(\delta_{a}\): Nehť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra \(\delta_{a}\) je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

\(\delta_{a}(A)=\begin{cases}

 \mbox{0 pokud } a\notin A\\
 \mbox{1 pokud } a\in A

\end{cases}\)

Reference

Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 5: / Řádka 5: @@
 === Přesná definice ===
-Funkce ''μ'', která je definovaná na [[sigma algebra|σ-algebře]] Σ, a jejíž [[obor hodnot]] je podmnožinou intervalu <math>[0,\infty]</math>, se nazývá míra, jestliže platí:
+Funkce ''μ'', která je definovaná na [[sigma algebra|σ-algebře]] Σ, a jejíž [[obor hodnot]] je podmnožinou intervalu <big>\([0,\infty]\)</big>, se nazývá míra, jestliže platí:
-* míra prázdné množiny je nulová: <math>\mu(\emptyset)=0</math>
+* míra prázdné množiny je nulová: <big>\(\mu(\emptyset)=0\)</big>
-* σ-aditivita: pro libovolnou [[spočetná množina|spočetnou]] [[posloupnost]] po dvou [[disjunktní množiny|disjunktních množin]] <math>A_{0},A_{1},...</math> je <math>\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})</math>
+* σ-aditivita: pro libovolnou [[spočetná množina|spočetnou]] [[posloupnost]] po dvou [[disjunktní množiny|disjunktních množin]] <big>\(A_{0},A_{1},...\)</big> je <big>\(\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})\)</big>
 === Vlastnosti míry ===
-* <math> \mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)</math>
+* <big>\( \mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)\)</big>
-* <math> \mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})</math>
+* <big>\( \mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)</big>
-* <math> \mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})</math>
+* <big>\( \mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)</big>
 === Příklady měr ===
-* [[Diracova míra]] <math>\delta_{a}</math>: Nehť ''X'' je neprázdná množina a ''a'' její prvek. Diracova míra <math>\delta_{a}</math> je definována na [[sigma algebra|σ-algebře]] ''P(X)'' všech podmnožin množiny ''X'' předpisem:
+* [[Diracova míra]] <big>\(\delta_{a}\)</big>: Nehť ''X'' je neprázdná množina a ''a'' její prvek. Diracova míra <big>\(\delta_{a}\)</big> je definována na [[sigma algebra|σ-algebře]] ''P(X)'' všech podmnožin množiny ''X'' předpisem:
-<math>\delta_{a}(A)=\begin{cases}
+<big>\(\delta_{a}(A)=\begin{cases}
    \mbox{0 pokud } a\notin A\\
    \mbox{1 pokud } a\in A
-\end{cases}</math>
+\end{cases}\)</big>
 * [[Aritmetická míra]]
 * [[Lebesgueova míra]]