Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Eulerova rovnost|700}}
+
[[Soubor:Euler's identity scarification, 3PiCon, Springfield-Flickr.jpg|thumb|300px|Eulerova rovnost jako unikátní [[jizva]].]]
 +
'''Eulerova rovnost''' (také '''Eulerova identita''') je základní vzorec [[komplexní analýza|komplexní analýzy]].
 +
Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<big>\(e^{i\pi}+1=0\)</big>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]).
 +
 +
== Znění ==
 +
Eulerova rovnost je vzorec <big>\(e^{i\pi}+1=0\)</big> , kde
 +
* ''e'' je [[Eulerovo číslo]]
 +
* ''i'' je [[imaginární jednotka]]
 +
* ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]]
 +
 +
== Elegantnost vyjádření ==
 +
Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní [[aritmetika|aritmetické]] [[Operace (matematika)|operace]] ([[Sčítání|součet]], [[součin]] a [[Umocňování|mocnina]]) s pěti základními analytickými [[konstanta]]mi ([[Eulerovo číslo|e]], [[Imaginární jednotka|i]], [[pí (číslo)|π]], [[Nula|0]], [[1 (číslo)|1]]). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.
 +
 +
== Odvození ==
 +
[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]]
 +
Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]], který říká
 +
 +
: <big>\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!\)</big>
 +
 +
pro každé [[reálné číslo]] ''x''. Speciálně pro
 +
 +
: <big>\(x = \pi,\,\!\)</big>
 +
 +
dostaneme
 +
 +
: <big>\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!\)</big>
 +
 +
Protože
 +
 +
:<big>\(\cos \pi = -1  \, \! \)</big>
 +
 +
a
 +
 +
:<big>\(\sin \pi = 0,\,\!\)</big>
 +
 +
vyplývá odtud
 +
 +
: <big>\(e^{i \pi} = -1\,\!\)</big>
 +
 +
a převedením na druhou stranu
 +
 +
: <big>\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!\)</big>
 +
 +
== Zobecnění ==
 +
Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech ''n''-tých odmocnin z jedné je nulový pro ''n''&nbsp;>&nbsp;1:
 +
:<big>\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .\)</big>
 +
Eulerova rovnost vznikne dosazením ''n = 2''.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Komplexní analýza]]
 +
* [[Eulerův vzorec]]
 +
* [[Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Eulerova rovnost jako unikátní jizva.

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy.

Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (\(e^{i\pi}+1=0\)) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Obsah

Znění

Eulerova rovnost je vzorec \(e^{i\pi}+1=0\) , kde

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!\)

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

\(x = \pi,\,\!\)

dostaneme

\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!\)

Protože

\(\cos \pi = -1 \, \! \)

a

\(\sin \pi = 0,\,\!\)

vyplývá odtud

\(e^{i \pi} = -1\,\!\)

a převedením na druhou stranu

\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!\)

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .\)

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Eulerova_rovnost“