Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Eulerova rovnost jako unikátní jizva.

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy.

Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (\(e^{i\pi}+1=0\)) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

Eulerova rovnost je vzorec \(e^{i\pi}+1=0\) , kde

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!\)

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

\(x = \pi,\,\!\)

dostaneme

\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!\)

Protože

\(\cos \pi = -1 \, \! \)

a

\(\sin \pi = 0,\,\!\)

vyplývá odtud

\(e^{i \pi} = -1\,\!\)

a převedením na druhou stranu

\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!\)

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .\)

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-'''Eulerova rovnost''' (také '''Eulerova identita''') je základní vzorec [[komplexní analýza|komplexní analýzy]]. Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<math>e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]).
+[[Soubor:Euler's identity scarification, 3PiCon, Springfield-Flickr.jpg|thumb|300px|Eulerova rovnost jako unikátní [[jizva]].]]
+'''Eulerova rovnost''' (také '''Eulerova identita''') je základní vzorec [[komplexní analýza|komplexní analýzy]].
+Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<big>\(e^{i\pi}+1=0\)</big>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]).
 == Znění ==
-Eulerova rovnost je vzorec <math>e^{i\pi}+1=0</math> , kde
+Eulerova rovnost je vzorec <big>\(e^{i\pi}+1=0\)</big> , kde
 * ''e'' je [[Eulerovo číslo]]
 * ''i'' je [[imaginární jednotka]]
@@ Řádka 8: / Řádka 11: @@
 == Elegantnost vyjádření ==
-Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní [[aritmetika|aritmetické]] [[Operace (matematika)|operace]] ([[součet]], [[součin]] a [[mocnina]]) s pěti základními analytickými [[konstanta]]mi ([[Eulerovo číslo|e]], [[Imaginární jednotka|i]], [[pí (číslo)|π]], [[Nula|0]], [[1 (číslo)|1]]). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.
+Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní [[aritmetika|aritmetické]] [[Operace (matematika)|operace]] ([[Sčítání|součet]], [[součin]] a [[Umocňování|mocnina]]) s pěti základními analytickými [[konstanta]]mi ([[Eulerovo číslo|e]], [[Imaginární jednotka|i]], [[pí (číslo)|π]], [[Nula|0]], [[1 (číslo)|1]]). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.
 == Odvození ==
-[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|right|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]]
+[[Soubor:Euler's formula.png|thumb|300px|Eulerův vzorec pro libovolný úhel.]]
 Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]], který říká
-: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
+: <big>\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!\)</big>
 pro každé [[reálné číslo]] ''x''. Speciálně pro
-: <math>x = \pi,\,\!</math>
+: <big>\(x = \pi,\,\!\)</big>
 dostaneme
-: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
+: <big>\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!\)</big>
 Protože
-:<math>\cos \pi = -1  \, \! </math>
+:<big>\(\cos \pi = -1  \, \! \)</big>
 a
-:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>
+:<big>\(\sin \pi = 0,\,\!\)</big>
 vyplývá odtud
-: <math>e^{i \pi} = -1\,\!</math>
+: <big>\(e^{i \pi} = -1\,\!\)</big>
 a převedením na druhou stranu
-: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
+: <big>\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!\)</big>
 == Zobecnění ==
 Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech ''n''-tých odmocnin z jedné je nulový pro ''n''&nbsp;>&nbsp;1:
-:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>
+:<big>\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .\)</big>
 Eulerova rovnost vznikne dosazením ''n = 2''.