Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:48

Eulerova rovnost jako unikátní jizva.

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy.

Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (\(e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

Eulerova rovnost je vzorec \(e^{i\pi}+1=0</math> , kde

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

\(x = \pi,\,\!</math>

dostaneme

\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>

Protože

\(\cos \pi = -1 \, \! </math>

a

\(\sin \pi = 0,\,\!</math>

vyplývá odtud

\(e^{i \pi} = -1\,\!</math>

a převedením na druhou stranu

\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 '''Eulerova rovnost''' (také '''Eulerova identita''') je základní vzorec [[komplexní analýza|komplexní analýzy]].
-Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<math>e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]).
+Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<big>\(e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná [[Einstein]]ovu rovnici ([[E=mc²]]).
 == Znění ==
-Eulerova rovnost je vzorec <math>e^{i\pi}+1=0</math> , kde
+Eulerova rovnost je vzorec <big>\(e^{i\pi}+1=0</math> , kde
 * ''e'' je [[Eulerovo číslo]]
 * ''i'' je [[imaginární jednotka]]
@@ Řádka 17: / Řádka 17: @@
 Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného [[Eulerův vzorec|Eulerova vzorce]], který říká
-: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
+: <big>\(e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
 pro každé [[reálné číslo]] ''x''. Speciálně pro
-: <math>x = \pi,\,\!</math>
+: <big>\(x = \pi,\,\!</math>
 dostaneme
-: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
+: <big>\(e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
 Protože
-:<math>\cos \pi = -1  \, \! </math>
+:<big>\(\cos \pi = -1  \, \! </math>
 a
-:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>
+:<big>\(\sin \pi = 0,\,\!</math>
 vyplývá odtud
-: <math>e^{i \pi} = -1\,\!</math>
+: <big>\(e^{i \pi} = -1\,\!</math>
 a převedením na druhou stranu
-: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
+: <big>\(e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>
 == Zobecnění ==
 Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech ''n''-tých odmocnin z jedné je nulový pro ''n''&nbsp;>&nbsp;1:
-:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>
+:<big>\(\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>
 Eulerova rovnost vznikne dosazením ''n = 2''.