Eulerova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 1. 12. 2020, 09:43

Eulerova rovnost jako unikátní jizva.

Eulerova rovnost (také Eulerova identita) je základní vzorec komplexní analýzy.

Svým jednoduchým a elegantním vyjádřením (<math>e^{i\pi}+1=0</math>) a fundamentálním významem připomíná Einsteinovu rovnici (E=mc²).

Znění

Eulerova rovnost je vzorec <math>e^{i\pi}+1=0</math> , kde

• e je Eulerovo číslo
• i je imaginární jednotka
• π je Ludolfovo číslo

Elegantnost vyjádření

Eulerova rovnost dává do souvislosti tři základní aritmetické operace (součet, součin a mocnina) s pěti základními analytickými konstantami (e, i, π, 0, 1). Přitom se v této rovnosti vyskytuje každá z operací i každá z konstant právě jednou a žádné jiné operace ani konstanty se v ní nevyskytují.

Odvození

Eulerův vzorec pro libovolný úhel.

Eulerova rovnost je speciálním případem takzvaného Eulerova vzorce, který říká

<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>

pro každé reálné číslo x. Speciálně pro

<math>x = \pi,\,\!</math>

dostaneme

<math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>

Protože

<math>\cos \pi = -1 \, \! </math>

a

<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>

vyplývá odtud

<math>e^{i \pi} = -1\,\!</math>

a převedením na druhou stranu

<math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>

Zobecnění

Eulerova rovnost je speciálním případem obecnější identity, která říká, že součet všech n-tých odmocnin z jedné je nulový pro n > 1:

<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>

Eulerova rovnost vznikne dosazením n = 2.

Související články

• Komplexní analýza
• Eulerův vzorec
• Seznam pojmů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi