Geometrický průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 10. 8. 2014, 18:40

Geometrický průměr n nezáporných čísel <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> je definován jako n-tá odmocnina jejich součinu:

<math> G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}</math>.

Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.

Příklad

Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. tempo růstu cen bylo postupně 20 %, 10 %, poté -15 % a +10 %, pak průměrný koeficient růstu je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)^1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,054⁴ ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Vlastnosti

Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než aritmetický průměr. Rovnost nastane jedině když jsou všechny průměrované hodnoty stejné – viz AG nerovnost. To mj. umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.

Geometrický průměr je lineárně homogenní funkce (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí

Logaritmus geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:

To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný f-průměr s logaritmickou transformací f(x) = ln x:

<math>G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).</math>

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Geometrický průměr|700}}
+'''Geometrický průměr''' ''n'' nezáporných čísel <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> je definován jako ''n''-tá [[odmocnina]] jejich součinu:
+<math> G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}</math>.
+Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.
+==Příklad==
+Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. [[tempo růstu]] cen bylo postupně 20&nbsp;[[Procento|%]], 10 %, poté -15 % a +10 %, pak průměrný [[koeficient růstu]] je roven (1,20&nbsp;· 1,10&nbsp;· 0,85&nbsp;· 1,10)<sup>1/4</sup>&nbsp;≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,054<sup>4</sup>&nbsp;≅ 1,2&nbsp;· 1,1&nbsp;· 0,85&nbsp;· 1,1).
+==Vlastnosti==
+Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než [[aritmetický průměr]]. Rovnost nastane jedině když jsou všechny průměrované hodnoty stejné – viz [[AG nerovnost]]. To mj. umožňuje definovat [[aritmeticko-geometrický průměr]], který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.
+Geometrický průměr je lineárně [[homogenní funkce]] (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí
+:<math> G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .</math>
+[[Logaritmus]] geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:
+:<math>\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i</math>
+To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako [[zobecněný f-průměr]] s logaritmickou transformací ''f(x)''&nbsp;= ln&nbsp;''x'':
+:<math>G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).</math>
+== Související články ==
+* [[Aritmetický průměr]]
+* [[Harmonický průměr]]
+* [[Medián]]
+* [[Modus]]
+* [[Nerovnost aritmetického a geometrického průměru]]
+* [[Nerovnosti mezi průměry]]
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Statistika]]