Vážení zákazníci a čtenáři – od 28. prosince do 2. ledna máme zavřeno.
Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !

Trojúhelníková nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Trojúhelníková nerovnost|700}}
+
'''Trojúhelníková nerovnost''' v [[Matematika|matematice]] tvrdí, že součet [[Délka|délek]] dvou [[Strana (geometrie)|stran]] [[trojúhelník]]u není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z ''A'' do ''B'' a pak do ''C'' není kratší než cesta z ''A'' přímo do ''C''. Tato [[nerovnost (matematika)|nerovnost]] je [[Matematická věta|větou]] v mnoha oblastech matematiky, např. [[Reálné číslo|reálných číslech]], [[Eukleidovský prostor|Euklidovském prostoru]], [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]]. Slouží jako [[axiom]] pro zavedení pojmu [[normovaný vektorový prostor]] a [[metrický prostor]].
 +
== Reálná a komplexní čísla ==
 +
 +
V [[Těleso (algebra)|tělese]] reálných a [[Komplexní číslo|komplexních čísel]] platí trojúhelníková nerovnost pro [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]] libovolných čísel <math>x</math> a <math>y</math> ve tvaru
 +
 +
<math>|x + y| \leq |x| + |y|</math>
 +
 +
=== Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech ===
 +
 +
Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí
 +
 +
<math>x \leq |x|</math> a zároveň
 +
 +
<math>-x \leq |x|</math>.
 +
 +
Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <math>x</math> a <math>y</math> a sečteme-li je, dostáváme
 +
 +
<math>x + y \leq |x| + |y|</math> a
 +
 +
<math>- x - y \leq |x| + |y|</math>.
 +
 +
Z definice absolutní hodnoty <math>|x + y|</math> víme, že může nabývat jen hodnot <math>x + y</math> nebo <math>- x - y</math>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.
 +
 +
== Normovaný vektorový prostor ==
 +
 +
V [[Normovaný vektorový prostor|normovaném vektorovém prostoru]] <math>V</math> s [[Norma|normou]] <math>\| \cdot \|</math> má trojúhelníková nerovnost tvar
 +
 +
<math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math>
 +
 +
pro každé dva [[vektor]]y <math>x</math> a <math>y</math> z <math>V</math>.
 +
 +
=== L<sup>p</sup> prostory ===
 +
 +
V [[Lp prostor|L<sup>p</sup> prostorech]] se trojúhelníkové nerovnosti říká [[Minkowského nerovnost]]. Díky ní se ukazuje, že L<sup>p</sup> prostory jsou normované vektorové prostory.
 +
 +
== Metrický prostor ==
 +
 +
V [[Metrický prostor|metrickém prostoru]] <math>M</math> s [[Metrika|metrikou]] <math>d</math> má trojúhelníková nerovnost tvar:
 +
 +
<math>d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) </math>
 +
 +
to jest, že vzdálenost <math>x</math> a <math>z</math> není větší než součet vzdálenosti z <math>x</math> do <math>y</math> a vzdálenosti z <math>y</math> do <math>z</math>.
 +
 +
== Důsledky ==
 +
 +
Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar
 +
 +
<math>\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|</math> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,
 +
 +
<math>\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq  \|x - y\|</math> pro normované vektorové prostory a
 +
 +
<math>\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq  d(y,z)</math> pro metrické prostory.
 +
 +
Z těchto tvarů už plyne, že [[absolutní hodnota]], norma i [[Funkce (matematika)|funkce]] <math>d(x, \cdot)</math> jsou [[Lipschitzovská funkce|Lipschitzovské]], tedy i [[Spojitá funkce|spojité funkce]].
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
 +
[[Kategorie:Nerovnosti]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]
[[Kategorie:Trojúhelník]]

Verze z 24. 10. 2014, 09:24

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, Lp prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Obsah

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel <math>x</math> a <math>y</math> ve tvaru

<math>|x + y| \leq |x| + |y|</math>

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

<math>x \leq |x|</math> a zároveň

<math>-x \leq |x|</math>.

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla <math>x</math> a <math>y</math> a sečteme-li je, dostáváme

<math>x + y \leq |x| + |y|</math> a

<math>- x - y \leq |x| + |y|</math>.

Z definice absolutní hodnoty <math>|x + y|</math> víme, že může nabývat jen hodnot <math>x + y</math> nebo <math>- x - y</math>. Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru <math>V</math> s normou <math>\| \cdot \|</math> má trojúhelníková nerovnost tvar

<math>\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|</math>

pro každé dva vektory <math>x</math> a <math>y</math> z <math>V</math>.

Lp prostory

V Lp prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že Lp prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru <math>M</math> s metrikou <math>d</math> má trojúhelníková nerovnost tvar:

<math>d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) </math>

to jest, že vzdálenost <math>x</math> a <math>z</math> není větší než součet vzdálenosti z <math>x</math> do <math>y</math> a vzdálenosti z <math>y</math> do <math>z</math>.

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

<math>\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|</math> pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

<math>\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|</math> pro normované vektorové prostory a

<math>\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)</math> pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce <math>d(x, \cdot)</math> jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Troj%C3%BAheln%C3%ADkov%C3%A1_nerovnost“