Rapidita
Z Multimediaexpo.cz
Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu \(c</math>, rapidita může být libovolně velká. Pro objekty v klidu má hodnotu 0 a pro pomalé objekty je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost objektu přibližuje \(c</math>, roste rapidita nade všechny meze.
Rapidita \(r</math> je definována vztahem
- \(\operatorname{tgh}\, r = \beta \,,</math>
kde \(\beta = v/c</math> je bezrozměrná rychlost a funkce \(\operatorname{tgh}</math> je hyperbolický tangens. Známe-li rychlost, můžeme rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem
- \(r = \operatorname{arctgh}\, \beta = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \,.</math>
Příklady
Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než \(c</math> je \(r</math> velmi přesně rovno \(\beta</math>. Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost \(\beta = 0{,}0000266851276159</math> a rapiditu \(r = 0{,}0000266851276222</math>, liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.
Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než \(\beta</math>. Například při polovině rychlosti světla je \(\beta = 0{,}5</math>, zatímco \(r = 0{,}5493</math>. Rapidita \(r = 1</math> odpovídá rychlosti \(\beta = 0{,}7616</math>. Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost \(\beta = 0{,}9999999282</math> a rapiditu \(r = 8{,}57</math>. Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, \(\beta = 0{,}9999999820</math>, ale rapidita vzroste na \(r = 9{,}26</math>.
| Rychlost / m.s-1 | Bezrozměrná rychlost | Rapidita | Lorentzův faktor | Poznámka |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | těleso v klidu |
| 20 000 | 0,000066713 | 0,000066713 | 1,00000000223 | obvyklá rychlost planetární sondy |
| 29 979 246 | 0,1 | 0,100335 | 1,00504 | relativistické jevy se začínají projevovat |
| 123 932 393 | 0,413394 | 0,439698 | 1,0982 | světlo v diamantu (n=2,419) |
| 149 896 229 | 0,5 | 0,54931 | 1,155 | |
| 224 844 344 | 0,75 | 0,97296 | 1,512 | |
| 224 900 000 | 0,75019 | 0,97338 | 1,512 | světlo ve vodě (n=1,3330) |
| 228 320 184 | 0,76159 | 1 | 1,543 | |
| 259 627 884 | 0,86603 | 1,3170 | 2 | kinetická energie je rovna klidové |
| 269 813 212 | 0,9 | 1,4722 | 2,2942 | |
| 296 794 533 | 0,99 | 2,6467 | 7,0888 | |
| 299 492 666 | 0,999 | 3,8002 | 22,366 | |
| 299 762 479 | 0,9999 | 4,9517 | 70,712 | |
| 299 789 460 | 0,99999 | 6,1030 | 223,6 | |
| 299 792 453 | 0,999999982044 | 9,2642 | 7 463 | 7 TeV proton (LHC) |
| 299 792 457,9964 | 0,999999999988 | 12,92 | 204 500 | 104,5 GeV elektron (LEP, rekord v laboratoři) |
| 299 792 457,999 999 999 999 997 | 0,9999999999999999999999902 | 26,8 | 3,2×1011 | vzácný 3×1020 eV proton kosmického záření |
| 299 792 458,0 | 1 | \(\infty</math> | \(\infty</math> | světlo ve vakuu |
Skládání pohybů
V klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi \(v_1</math> a \(v_2</math>, pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí \(v_1+v_2</math>. Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s \(c</math>. Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah
- \(v_{12}=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2} \,.</math>
Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí
- \(\beta_{12}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}.</math>
Lze ukázat, že
- \(\mathrm{arctgh}\, \beta_{12} = \mathrm{arctgh}\, \beta_1 + \mathrm{arctgh}\, \beta_2 \,,</math>
neboli
- \(r_{12} = r_1+r_2 \,.</math>
To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Můžeme například urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83. [pozn 1] Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.
Poznámky
- ↑ Při nárazu do stojícího terče je tak vysoká rapidita technicky nedosažitelná. To je důvod, proč LHC používá dva vstřícné svazky částic. Oba svazky v LHC mají před srážkou přesně stejnou rapiditu. Zde jsou použity protony s různou energií jen jako příklad.
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |