Trojúhelníková nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

Trojúhelníková nerovnost v matematice tvrdí, že součet délek dvou stran trojúhelníku není nikdy menší než délka strany třetí. Obecněji to znamená, že cesta z A do B a pak do C není kratší než cesta z A přímo do C. Tato nerovnost je větou v mnoha oblastech matematiky, např. reálných číslech, Euklidovském prostoru, L^p prostorech. Slouží jako axiom pro zavedení pojmu normovaný vektorový prostor a metrický prostor.

Obsah 1 Reálná a komplexní čísla 1.1 Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech 2 Normovaný vektorový prostor 2.1 Lp prostory 3 Metrický prostor 4 Důsledky

Reálná a komplexní čísla

V tělese reálných a komplexních čísel platí trojúhelníková nerovnost pro absolutní hodnoty libovolných čísel \(x\) a \(y\) ve tvaru

\(|x + y| \leq |x| + |y|\)

Odvození trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech

Pro absolutní hodnotu reálného čísla vždy platí

\(x \leq |x|\) a zároveň

\(-x \leq |x|\).

Použijeme-li obě tyto nerovnosti současně pro dvě čísla \(x\) a \(y\) a sečteme-li je, dostáváme

\(x + y \leq |x| + |y|\) a

\(- x - y \leq |x| + |y|\).

Z definice absolutní hodnoty \(|x + y|\) víme, že může nabývat jen hodnot \(x + y\) nebo \(- x - y\). Tedy kombinací posledních dvou nerovností dostáváme trojúhelníkovou nerovnost.

Normovaný vektorový prostor

V normovaném vektorovém prostoru \(V\) s normou \(\| \cdot \|\) má trojúhelníková nerovnost tvar

\(\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|\)

pro každé dva vektory \(x\) a \(y\) z \(V\).

L^p prostory

V L^p prostorech se trojúhelníkové nerovnosti říká Minkowského nerovnost. Díky ní se ukazuje, že L^p prostory jsou normované vektorové prostory.

Metrický prostor

V metrickém prostoru \(M\) s metrikou \(d\) má trojúhelníková nerovnost tvar:

\(d(x,z) \leq d(x, y) + d(y,z) \)

to jest, že vzdálenost \(x\) a \(z\) není větší než součet vzdálenosti z \(x\) do \(y\) a vzdálenosti z \(y\) do \(z\).

Důsledky

Úpravou trojúhelníkové nerovnosti dostáváme jiný vhodný tvar

\(\left| |x| - |y| \right| \leq |x - y|\) pro absolutní hodnoty v reálných a komplexních číslech,

\(\left| \|x\| - \|y\| \right| \leq \|x - y\|\) pro normované vektorové prostory a

\(\left| d(x, y) - d(x,z) \right| \leq d(y,z)\) pro metrické prostory.

Z těchto tvarů už plyne, že absolutní hodnota, norma i funkce \(d(x, \cdot)\) jsou Lipschitzovské, tedy i spojité funkce.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii