Sigma okruh

Z Multimediaexpo.cz

\(\sigma\)-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix \(\sigma\) v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice

Systém množin \(\mathcal{R}\) je \(\sigma\)-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

1. \(\mathcal{R} \neq \emptyset\)
2. jestliže \((\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R})\), pak \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}\)
3. jestliže \(A, B \in \mathcal{R}\), pak \(A \setminus B \in \mathcal{R}\)

Někdy se jako \(\sigma\)-okruh označuje uspořádaná dvojice \((\Omega, \mathcal{R})\), kde \(\Omega\) je libovolná množina a \(\mathcal{R} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Další vlastnosti

• Každý \(\sigma\)-okruh obsahuje prázdnou množinu
• \(\sigma\)-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků: jestliže \((\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R})\), pak \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}\)

Použití

Koncept \(\sigma\)-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo sigma algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Související články

• \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{A}\) je \(\sigma\)-okruh, který obsahuje sjednocení všech svých prvků (tj. \(\Omega \in \mathcal{A}\)).
• Systém množin
• Potenční množina