Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !
Teorie míry
Z Multimediaexpo.cz
Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá z nejobecnějšího možného hlediska problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má velmi úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.
Obsah |
Míra
Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).
Přesná definice
Funkce μ, která je definovaná na σ-algebře Σ, a jejíž obor hodnot je podmnožinou intervalu \([0,\infty]\), se nazývá míra, jestliže platí:
- míra prázdné množiny je nulová: \(\mu(\emptyset)=0\)
- σ-aditivita: pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin \(A_{0},A_{1},...\) je \(\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})\)
Vlastnosti míry
- \( \mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)\)
- \( \mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)
- \( \mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)
Příklady měr
- Aritmetická míra
- Diracova míra \(\delta_{a}\): Nehť X je neprázdná množina a a její prvek.
Diracova míra \(\delta_{a}\) je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:
\(\delta_{a}(A)=\begin{cases} \mbox{0 pokud } a\notin A\\ \mbox{1 pokud } a\in A \end{cases}\)
Reference
- Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
Externí odkazy
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |