Přejeme Vám krásné svátky a 52 týdnů pohody a štěstí v roce 2025 !
Teorie míry
Z Multimediaexpo.cz
Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá z nejobecnějšího možného hlediska problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má velmi úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.
Obsah |
Míra
Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).
Přesná definice
Funkce μ, která je definovaná na σ-algebře Σ, a jejíž obor hodnot je podmnožinou intervalu <math>[0,\infty]</math>, se nazývá míra, jestliže platí:
- míra prázdné množiny je nulová: <math>\mu(\emptyset)=0</math>
- σ-aditivita: pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin <math>A_{0},A_{1},...</math> je <math>\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})</math>
Vlastnosti míry
- <math> \mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)</math>
- <math> \mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})</math>
- <math> \mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})</math>
Příklady měr
- Diracova míra <math>\delta_{a}</math>: Nehť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra <math>\delta_{a}</math> je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:
<math>\delta_{a}(A)=\begin{cases}
\mbox{0 pokud } a\notin A\\
\mbox{1 pokud } a\in A
\end{cases}</math>
Reference
Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |