Heronův vzorec
Z Multimediaexpo.cz
Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v euklidovské rovině) pomocí délek jeho stran.
Obsah |
Vzorec
Jsou-li \(a, b, c\) délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah
- \( S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c)},\)
kde \( s= \frac {a + b +c}{2}\) je poloviční obvod trojúhelníku.
Důkaz
Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:
\( \ x^2 + v^2 = c^2 \)
\( \ (a-x)^2 + v^2 = b^2 \)
Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:
\( \ a^2 - 2ax = b^2 - c^2 \)
Z tohoto vztahu vyjádříme x:
\( x= \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a} \)
Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:
\( \ v^2 = c^2 - x^2 \)
\( v^2 = c^2 - \left(\frac {a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2 \)
\( v^2 = c^2 - \frac {\left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2} \)
\( v^2 =\frac{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}{4a^2} \)
\( v =\frac{\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{2a} \)
Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku
\( S= \frac {av}{2}, \)
dostaneme
\( S= \frac {\sqrt{4c^2a^2 - \left(a^2 + c^2 - b^2\right)^2}}{4} \)
Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:
\( S= \frac {\sqrt{\left(2ac + a^2 + c^2 - b^2\right)\left(2ac - a^2 - c^2 + b^2\right)}}{4} \)
\( S= \frac {\sqrt{\left[\left(a + c \right)^2 - b^2\right]\left[b^2 - \left(a - c \right)^2\right]}}{4} \)
\( S= \frac {\sqrt{\left(a + c + b\right)\left(a + c - b\right)\left(b + a - c\right)\left(b - a + c\right)}}{4} \)
Dosadíme poloviční obvod s,
\( \ a + b + c = 2s \)
a dostáváme výsledný vzorec:
\( S= \frac {\sqrt{2s\left(2s - 2a\right)\left(2s - 2b\right)\left(2s - 2c\right)}}{4} \)
\( S= \frac {\sqrt{16s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)}}{4} \)
\( S= \sqrt{s\left(s - a\right)\left(s - b\right)\left(s - c\right)} \)
Historie
Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.[1]
Poznámky
Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.
Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.
Obsah trojúhelníku je symetrická kvadraticky homogenní funkce jeho stran, H. v. ukazuje její konkrétní tvar.
Související články
Reference
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |