Elektrický potenciál
Z Multimediaexpo.cz
Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Jedná se tedy o potenciál elektrického pole, tzn. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného bodu, kterému je přisouzen nulový potenciál, do daného místa.
Za místo s nulovým potenciálem (tzn. vztažný bod) se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod (běžné u jiných potenciálů, u elektřiny obvykle pouze v teoretických úlohách), nebo povrch Země.
Obsah |
Značení
Výpočet
Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako
- \(\varphi = \frac{W}{Q}\),
kde W je potenciální energie nabitého tělesa a Q je jeho náboj.
Potenciál bodového náboje, který se nachází v počátku soustavy souřadnic, lze zapsat jako
- \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{r} + \varphi_0\),
kde \(\boldsymbol{r}\) je polohový vektor bodu prostoru a \(\varphi_0\) je Integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade \(\varphi_0 = 0\).
Potenciál objemově rozloženého náboje s hustotou náboje \(\rho\) lze vyjádřit vztahem
- \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}V\),
kde \(V\) je celkový objem, přes který se integruje.
Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje \(\rho\) nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová.
Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit jako
- \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S \frac{\sigma(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}S\),
kde \(\sigma\) je plošná hustota elektrického náboje.
Pro potenciál lineárně rozloženého náboje platí
- \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_l \frac{\tau(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}\mathrm{d}l\),
kde \(\tau\) je lineární hustota elektrického náboje.
Poissonova rovnice
Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme
- \(\operatorname{div}\boldsymbol{E} = -\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\)
Využijeme-li z vektorové analýzy tzv. Laplaceův operátor \(\Delta = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\), lze předchozí vztah zapsat ve tvaru Poissonovy rovnice
- \(\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\)
Tato rovnice je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon.
Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tzn. \(\rho=0\), zjednoduší se předchozí rovnice na rovnici, která se označuje jako rovnice Laplaceova
- \(\Delta\varphi = 0\)
Vlastnosti
Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy \(n\) bodových nábojů \(Q_1\) až \(Q_n\), jejichž polohové vektory jsou \(\boldsymbol{r}_1\) až \(\boldsymbol{r}_n\).
- \(\varphi(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i|} + \varphi_0\)
Potenciál jednoho z bodových nábojů \(Q_i\) ze soustavy nábojů \(Q_1\) až \(Q_n\) vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako
- \(\varphi_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\sum_{j\ne i}\frac{Q_j}{|\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j|}\)
Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tzn.
- \(\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\operatorname{grad}\,\varphi(\boldsymbol{r})\)
Potenciál elektrostatického pole lze podle chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tzn. \(\varphi_0=0\), potom lze podle předchozího vztahu psát
- \(\varphi(\boldsymbol{r}) = -\int_\infty^\boldsymbol{r} \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\)
Rozdíl potenciálů je roven napětí mezi danými body.
Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tzn. \(\varphi=\mbox{konst}\), se nazývá ekvipotenciální plocha.
Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciálním plochám. To lze ukázat diferenciací vztahu \(\varphi=\mbox{konst}\), tzn.
- \(\mathrm{d}\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\mathrm{d}y + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\mathrm{d}z = -(E_x\mathrm{d}x+E_y\mathrm{d}y+E_z\mathrm{d}z) = -\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{r} = 0\),
kde \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) leží v tečné rovině k ekvipotenciální ploše. Vektory \(\boldsymbol{E}\) a \(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\) jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. \(\boldsymbol{E}\) je kolmé k ekvipotenciální ploše.
Související články
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |