Rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 1: Řádka 1:
-
Uvažujme dvě [[funkce (matematika)|funkce]] <math>f(x), g(x)</math>, které jsou [[definiční obor|definovány]] na nějaké [[množina|množině]] <math>D</math>, pak nalezení všech <math>x \in D</math>, která splňují [[rovnost (matematika)|rovnost]]
+
Uvažujme dvě [[funkce (matematika)|funkce]] <big>\(f(x), g(x)</math>, které jsou [[definiční obor|definovány]] na nějaké [[množina|množině]] <big>\(D</math>, pak nalezení všech <big>\(x \in D</math>, která splňují [[rovnost (matematika)|rovnost]]
-
:<math>f(x) = g(x)</math>
+
:<big>\(f(x) = g(x)</math>
-
se nazývá '''rovnicí''' o jedné neznámé <math>x</math>. Funkce <math>f(x)</math> se nazývá ''levá strana rovnice'' a <math>g(x)</math> se nazývá ''pravá strana rovnice''.
+
se nazývá '''rovnicí''' o jedné neznámé <big>\(x</math>. Funkce <big>\(f(x)</math> se nazývá ''levá strana rovnice'' a <big>\(g(x)</math> se nazývá ''pravá strana rovnice''.
== Kořeny rovnice ==
== Kořeny rovnice ==
{{Viz též|Kořen (matematika)}}
{{Viz též|Kořen (matematika)}}
-
Každé [[číslo]] <math>x_0 \in D</math>, které vyhovuje vztahu <math>f(x_0) = g(x_0)</math>, se nazývá '''kořen rovnice'''. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako '''řešení rovnice'''. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v <math>D</math>, nazývá se ''řešitelná'' v <math>D</math>, pokud žádný kořen v <math>D</math> nemá, říkáme, že rovnice je v <math>D</math> ''neřešitelná''. Pokud je rovnice <math>f(x) = g(x)</math> splněna pro všechna <math>x \in D</math>, jde o [[identita (matematika)|identitu]], což značíme
+
Každé [[číslo]] <big>\(x_0 \in D</math>, které vyhovuje vztahu <big>\(f(x_0) = g(x_0)</math>, se nazývá '''kořen rovnice'''. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako '''řešení rovnice'''. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v <big>\(D</math>, nazývá se ''řešitelná'' v <big>\(D</math>, pokud žádný kořen v <big>\(D</math> nemá, říkáme, že rovnice je v <big>\(D</math> ''neřešitelná''. Pokud je rovnice <big>\(f(x) = g(x)</math> splněna pro všechna <big>\(x \in D</math>, jde o [[identita (matematika)|identitu]], což značíme
-
:<math>f(x) \equiv g(x)</math>
+
:<big>\(f(x) \equiv g(x)</math>
=== Triviální řešení ===
=== Triviální řešení ===
[[Řešení rovnice|Řešení]], které je [[identita|identicky]] rovno [[nula|nule]], se označuje jako '''[[triviální]]'''. Pokud řešení rovnice není [[identita|identicky]] rovno [[nula|nule]], hovoří se o '''netriviálním řešení'''.
[[Řešení rovnice|Řešení]], které je [[identita|identicky]] rovno [[nula|nule]], se označuje jako '''[[triviální]]'''. Pokud řešení rovnice není [[identita|identicky]] rovno [[nula|nule]], hovoří se o '''netriviálním řešení'''.
V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení.
V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení.
Např. triviálním řešením [[diferenciální rovnice]]
Např. triviálním řešením [[diferenciální rovnice]]
-
:<math>y^\prime = y</math>
+
:<big>\(y^\prime = y</math>
je  
je  
-
:<math>y = 0</math>,
+
:<big>\(y = 0</math>,
což je [[funkce (matematika)|funkce]] identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar
což je [[funkce (matematika)|funkce]] identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar
-
:<math>y = \mathrm{e}^x</math>,
+
:<big>\(y = \mathrm{e}^x</math>,
což je [[exponenciální funkce]].
což je [[exponenciální funkce]].
-
Jiným příkladem je tzv. [[Velká Fermatova věta]], která hledá netriviální řešení rovnice <math>a^n + b^n = c^n</math> pro <math>n>2</math>. Triviálním řešením by v tomto případě bylo <math>a = b = c = 0</math>, což platí pro libovolné <math>n</math>. Podobně je triviálním řešením <math>a = 1, b = 0, c = 1</math>. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.
+
Jiným příkladem je tzv. [[Velká Fermatova věta]], která hledá netriviální řešení rovnice <big>\(a^n + b^n = c^n</math> pro <big>\(n>2</math>. Triviálním řešením by v tomto případě bylo <big>\(a = b = c = 0</math>, což platí pro libovolné <big>\(n</math>. Podobně je triviálním řešením <big>\(a = 1, b = 0, c = 1</math>. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.
== Ekvivalentní rovnice ==
== Ekvivalentní rovnice ==
-
Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice <math>f_1(x) = g_1(x), f_2(x) = g_2(x)</math>, pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ''ekvivalentní''.
+
Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice <big>\(f_1(x) = g_1(x), f_2(x) = g_2(x)</math>, pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ''ekvivalentní''.
Rovnici lze tzv. ''ekvivalentními úpravami'' převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:
Rovnici lze tzv. ''ekvivalentními úpravami'' převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:
-
* [[sčítání|přičtení]] (nebo [[odčítání|odečtení]]) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. <math>f(x) + a = g(x) + a</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí <math>f(x) = g(x)</math>
+
* [[sčítání|přičtení]] (nebo [[odčítání|odečtení]]) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. <big>\(f(x) + a = g(x) + a</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí <big>\(f(x) = g(x)</math>
-
* [[násobení|vynásobení]] obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. <math>a f(x) = a g(x)</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí <math>f(x) = g(x)</math>
+
* [[násobení|vynásobení]] obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. <big>\(a f(x) = a g(x)</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí <big>\(f(x) = g(x)</math>
-
Rovnici <math>f(x) = g(x)</math> je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar
+
Rovnici <big>\(f(x) = g(x)</math> je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar
-
:<math>F(x) = f(x) - g(x) = 0</math>
+
:<big>\(F(x) = f(x) - g(x) = 0</math>
Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. [[logaritmus|logaritmování]] nebo [[umocňování|umocnění]] obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést [[#Zkouška|zkoušku]].
Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. [[logaritmus|logaritmování]] nebo [[umocňování|umocnění]] obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést [[#Zkouška|zkoušku]].
== Zkouška ==
== Zkouška ==
Po nalezení řešení rovnice provádíme ''zkoušku'', neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.
Po nalezení řešení rovnice provádíme ''zkoušku'', neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.
== Rovnice o více neznámých ==
== Rovnice o více neznámých ==
-
Rovnice o <math>n</math> neznámých má tvar
+
Rovnice o <big>\(n</math> neznámých má tvar
-
:<math>F(x_1,x_2,...,x_n) = 0</math>
+
:<big>\(F(x_1,x_2,...,x_n) = 0</math>
-
Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě <math>F(x) = 0</math>, přičemž řešením rovnice o <math>n</math> neznámých jsou [[Uspořádaná n-tice|''n''-tice]] <math>(x_1, x_2, ..., x_n)</math>.
+
Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě <big>\(F(x) = 0</math>, přičemž řešením rovnice o <big>\(n</math> neznámých jsou [[Uspořádaná n-tice|''n''-tice]] <big>\((x_1, x_2, ..., x_n)</math>.
== Algebraické a nealgebraické rovnice ==
== Algebraické a nealgebraické rovnice ==
Rovnice lze rozdělit na ''algebraické rovnice'' (též označované jako ''polynomiální rovnice'') a ''nealgebraické rovnice'' (též ''transcendentní rovnice'').
Rovnice lze rozdělit na ''algebraické rovnice'' (též označované jako ''polynomiální rovnice'') a ''nealgebraické rovnice'' (též ''transcendentní rovnice'').
-
Jako algebraickou rovnici <math>n</math>-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru
+
Jako algebraickou rovnici <big>\(n</math>-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru
-
:<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0</math>,
+
:<big>\(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0</math>,
-
kde levou stranu rovnice tvoří [[polynom]] <math>n</math>-tého stupně s <math>a_n \neq 0</math>, přičemž se předpokládá, že <math>n \geq 1</math>. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.
+
kde levou stranu rovnice tvoří [[polynom]] <big>\(n</math>-tého stupně s <big>\(a_n \neq 0</math>, přičemž se předpokládá, že <big>\(n \geq 1</math>. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.
Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy [[analytické řešení|řešitelné analyticky]], v [[algebra|algebře]] se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat [[numerické řešení|numericky]].  
Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy [[analytické řešení|řešitelné analyticky]], v [[algebra|algebře]] se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat [[numerické řešení|numericky]].  
-
Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří [[lineární rovnice]] <math>(n = 1)</math>, [[kvadratická rovnice]] <math>(n = 2)</math>, [[kubická rovnice]] <math>(n = 3)</math> a [[kvartická rovnice]] <math>(n = 4)</math>. Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o [[binomická rovnice|binomické]], [[trinomická rovnice|trinomické]] nebo [[reciproká rovnice|reciproké]] rovnice.
+
Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří [[lineární rovnice]] <big>\((n = 1)</math>, [[kvadratická rovnice]] <big>\((n = 2)</math>, [[kubická rovnice]] <big>\((n = 3)</math> a [[kvartická rovnice]] <big>\((n = 4)</math>. Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o [[binomická rovnice|binomické]], [[trinomická rovnice|trinomické]] nebo [[reciproká rovnice|reciproké]] rovnice.
-
Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. [[základní věta algebry]]. Podle této věty má každý polynom s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty stupně <math>n \geq 1</math> alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností [[polynom|polynomů]].
+
Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. [[základní věta algebry]]. Podle této věty má každý polynom s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty stupně <big>\(n \geq 1</math> alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností [[polynom|polynomů]].
Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. [[exponenciální rovnice]], [[logaritmická rovnice]] nebo [[goniometrická rovnice]].
Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. [[exponenciální rovnice]], [[logaritmická rovnice]] nebo [[goniometrická rovnice]].
=== Homogenní rovnice ===
=== Homogenní rovnice ===
-
Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako ''homogenní'', pokud mají všechny její [[monom|členy]] stejný stupeň. Např. <math>3 x^2 y + 3 x^3 + 2 y^3 - 5 x y^2 = 0</math> je homogenní rovnice třetího stupně.
+
Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako ''homogenní'', pokud mají všechny její [[monom|členy]] stejný stupeň. Např. <big>\(3 x^2 y + 3 x^3 + 2 y^3 - 5 x y^2 = 0</math> je homogenní rovnice třetího stupně.
-
Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru <math>f(x)=0</math>, kde <math>f(x)</math> je [[homogenní funkce]].
+
Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru <big>\(f(x)=0</math>, kde <big>\(f(x)</math> je [[homogenní funkce]].
== Další druhy rovnic ==
== Další druhy rovnic ==
Rovnice obsahující [[derivace]] označujeme jako [[diferenciální rovnice|diferenciální]].
Rovnice obsahující [[derivace]] označujeme jako [[diferenciální rovnice|diferenciální]].

Verze z 14. 8. 2022, 14:50

Uvažujme dvě funkce \(f(x), g(x)</math>, které jsou definovány na nějaké množině \(D</math>, pak nalezení všech \(x \in D</math>, která splňují rovnost

\(f(x) = g(x)</math>

se nazývá rovnicí o jedné neznámé \(x</math>. Funkce \(f(x)</math> se nazývá levá strana rovnice a \(g(x)</math> se nazývá pravá strana rovnice.

Obsah

Kořeny rovnice

Každé číslo \(x_0 \in D</math>, které vyhovuje vztahu \(f(x_0) = g(x_0)</math>, se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v \(D</math>, nazývá se řešitelná v \(D</math>, pokud žádný kořen v \(D</math> nemá, říkáme, že rovnice je v \(D</math> neřešitelná. Pokud je rovnice \(f(x) = g(x)</math> splněna pro všechna \(x \in D</math>, jde o identitu, což značíme

\(f(x) \equiv g(x)</math>

Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení. V mnoha případech přímo součástí zadání problému požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení. Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

\(y^\prime = y</math>

je

\(y = 0</math>,

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

\(y = \mathrm{e}^x</math>,

což je exponenciální funkce. Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice \(a^n + b^n = c^n</math> pro \(n>2</math>. Triviálním řešením by v tomto případě bylo \(a = b = c = 0</math>, což platí pro libovolné \(n</math>. Podobně je triviálním řešením \(a = 1, b = 0, c = 1</math>. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice \(f_1(x) = g_1(x), f_2(x) = g_2(x)</math>, pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní. Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

  • přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. \(f(x) + a = g(x) + a</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí \(f(x) = g(x)</math>
  • vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. \(a f(x) = a g(x)</math> je ekvivalentní rovnicí s rovnicí \(f(x) = g(x)</math>

Rovnici \(f(x) = g(x)</math> je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

\(F(x) = f(x) - g(x) = 0</math>

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých

Rovnice o \(n</math> neznámých má tvar

\(F(x_1,x_2,...,x_n) = 0</math>

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě \(F(x) = 0</math>, přičemž řešením rovnice o \(n</math> neznámých jsou n-tice \((x_1, x_2, ..., x_n)</math>.

Algebraické a nealgebraické rovnice

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice). Jako algebraickou rovnici \(n</math>-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

\(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0</math>,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom \(n</math>-tého stupně s \(a_n \neq 0</math>, přičemž se předpokládá, že \(n \geq 1</math>. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické. Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky. Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice \((n = 1)</math>, kvadratická rovnice \((n = 2)</math>, kubická rovnice \((n = 3)</math> a kvartická rovnice \((n = 4)</math>. Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice. Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně \(n \geq 1</math> alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů. Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. \(3 x^2 y + 3 x^3 + 2 y^3 - 5 x y^2 = 0</math> je homogenní rovnice třetího stupně. Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru \(f(x)=0</math>, kde \(f(x)</math> je homogenní funkce.

Další druhy rovnic

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální. Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální. Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články

Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Rovnice“