Keplerova úloha

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(Články s oknem do Wikipedie)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Keplerova úloha|700}}
+
{{Upravit}}
 +
'''Keplerova úloha''' je v [[klasická mechanika|klasické mechanice]] problém dvou těles, které spolu interagují [[Centrální síla|centrálními silami]], jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles ([[Newtonův gravitační zákon|gravitační síla]], [[elektrická síla]], [[magnetická síla]]). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.
 +
Keplerova úloha byla nazvána po [[Johannes Kepler|Johannu Keplerovi]], který objevil [[Keplerovy zákony]], které jsou řešením Keplerovy úlohy. 
 +
 +
== Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla ==
 +
 +
Mějme tělesa o [[hmotnost]]ech <big>\(m_1\)</big> a <big>\(m_2\)</big>, velikost [[síla|síly]], kterou se přitahují je dána vztahem
 +
 +
<big>\(F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(G\)</big> je [[gravitační konstanta]] a <big>\(r\)</big> vzdálenost těles. Této síle odpovídá [[potenciální energie]]
 +
 +
<big>\(V=-\frac{G m_1 m_2}{r}\)</big>.
 +
 +
[[Lagrangián]] soustavy je pak dán výrazem
 +
 +
<big>\(L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(\rm{x}_1\)</big> a <big>\(\rm{x}_2\)</big> jsou [[polohový vektor|polohové vektory]] prvního a druhého tělesa.
 +
 +
Ukazuje se výhodnější pracovat v [[těžišťová soustava|těžišťové soustavě]], zavedeme tedy nové proměnné
 +
 +
<big>\(\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}\)</big>,
 +
 +
<big>\(\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2\)</big>,
 +
 +
kde první popisuje polohu [[těžiště]] a druhá relativní polohu prvního tělesa.
 +
 +
Lagrangián v těchto proměnných má tvar
 +
 +
<big>\(L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}\)</big>,
 +
 +
Kde
 +
 +
<big>\(M=m_1 + m_2\)</big>
 +
 +
a
 +
 +
<big>\(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\)</big>.
 +
 +
Zde je zřejmé, že proměnná <big>\(\rm{X}\)</big> je [[cyklická souřadnice|cyklická]] (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz <big>\(M \dot{X}\)</big> [[integrál pohybu|integrálem pohybu]], což představuje [[zákon zachování hybnosti]] soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar
 +
 +
<big>\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}\)</big>.
 +
 +
Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že <big>\(\theta =90\)</big> a <big>\(\dot{\theta}=0\)</big>, pak pro další časy <big>\(\theta\)</big> zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.
 +
 +
<big>\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}\)</big>.
 +
 +
Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):
 +
 +
<big>\(L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2  + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}\)</big>
 +
 +
[[lagrangeovy rovnice druhého druhu|Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu]] mají pro tento lagrangián tvar:
 +
 +
<big>\(r^2 \dot{\varphi} = l\)</big>
 +
 +
<big>\(\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} \)</big>
 +
[[Soubor:Plocha pruvodice.png|thumb|200px|Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.]]
 +
První rovnice představuje [[zákon zachování momentu hybnosti]], jenž je úměrný konstantě <big>\(l\)</big>, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu [[odstředivá síla|odstředivé]] a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná [[průvodič]]em za jednotku času je konstantní (rovna <big>\(l/2\)</big>). Odvodili jsme tedy [[druhý Keplerův zákon]].
 +
 +
Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou <big>\(r\)</big>.
 +
 +
<big>\(\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} \)</big>
 +
 +
Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné <big>\(u=\frac{1}{r}\)</big>, potom totiž máme:
 +
 +
<big>\(\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}\)</big>
 +
 +
Označíme-li <big>\(u'=\frac{du}{d\varphi}\)</big>, dostáváme
 +
 +
<big>\(\ddot{r}=-l u'' \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u''\)</big>.
 +
 +
Po dosazení do původní rovnice získáváme [[Binetův vzorec]]
 +
 +
<big>\(u''+u=\frac{GM}{l^2}\)</big>,
 +
 +
Což je rovnice pro [[lineární harmonický oscilátor]] s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar
 +
 +
<big>\(u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}\)</big>
 +
 +
Rovnice vypočtené křivky v [[polární souřadnice|polárních souřadnicích]] tedy je
 +
 +
<big>\(r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}\)</big>,
 +
 +
kde
 +
 +
<big>\(p = \frac{l^2}{GM}\)</big>
 +
 +
<big>\(\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}\)</big>.
 +
 +
Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis [[kuželosečky]] v polárních souřadnicích.
 +
Přičemž <big>\(p\)</big> představuje [[parametr kuželosečky]] a <big>\(\varepsilon\)</big> její [[excentricita|excentricitu]]. Výsledná křivka je tedy [[kružnice]], [[elipsa]], [[parabola (matematika)|parabola]] nebo [[hyperbola]]. Odvodili jsme tedy [[první Keplerův zákon]]. Speciálně planety se pohybují po elipsách a [[Slunce]] je v [[ohnisko|ohnisku]].
 +
 +
== Perioda oběhu po elipse ==
 +
 +
Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je [[numerická excentricita]] <big>\(\varepsilon < 1\)</big>. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat [[perioda oběhu|periodu oběhu]].
 +
 +
Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy
 +
 +
<big>\(T=\frac{2\pi a b}{l}\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(a\)</big> a <big>\(b\)</big> je velká a malá poloosa elipsy.
 +
 +
Přitom z předpisu elipsy v polárním  tvaru je zřejmé, že platí
 +
 +
<big>\(2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}\)</big>,
 +
 +
dále pak dle definice výše
 +
 +
<big>\(p=\frac{l^2}{GM}\)</big>
 +
 +
nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu
 +
 +
<big>\(b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}\)</big>.
 +
 +
Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme
 +
 +
<big>\(T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}\)</big>
 +
 +
Úpravou získáváme [[třetí Keplerův zákon]] v obvyklém tvaru.
 +
 +
<big>\(\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}\)</big>
 +
 +
Byly tedy odvozeny všechny tři [[Keplerovy zákony]]. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.
 +
 +
== Keplerova rovnice ==
 +
Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána [[Keplerova rovnice|Keplerovou rovnicí]].
 +
 +
V tomto případě je výhodnější místo závislosti <big>\(\varphi\)</big> na čase zkoumat závislost [[excentrická anomálie|excentrické anomálie]] <big>\(E\)</big>, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.
 +
 +
Pro elipsu přitom platí
 +
 +
<big>\(x=a\cos E-\varepsilon a\)</big>
 +
 +
<big>\(y=b\sin E\)</big>
 +
 +
Kde osa x míří k [[perihel]]u, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Nebeská mechanika]]
[[Kategorie:Nebeská mechanika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Broom icon.png Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl. 		Broom icon.png

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla

Mějme tělesa o hmotnostech \(m_1\) a \(m_2\), velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem

\(F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\),

kde \(G\) je gravitační konstanta a \(r\) vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

\(V=-\frac{G m_1 m_2}{r}\).

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

\(L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}\),

kde \(\rm{x}_1\) a \(\rm{x}_2\) jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné

\(\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}\),

\(\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2\),

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

\(L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}\),

Kde

\(M=m_1 + m_2\)

a

\(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\).

Zde je zřejmé, že proměnná \(\rm{X}\) je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz \(M \dot{X}\) integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}\).

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že \(\theta =90\) a \(\dot{\theta}=0\), pak pro další časy \(\theta\) zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.

\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}\).

Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):

\(L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}\)

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

\(r^2 \dot{\varphi} = l\)

\(\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} \)

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě \(l\), druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna \(l/2\)). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou \(r\).

\(\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} \)

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné \(u=\frac{1}{r}\), potom totiž máme:

\(\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}\)

Označíme-li \(u'=\frac{du}{d\varphi}\), dostáváme

\(\ddot{r}=-l u \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u\).

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

\(u+u=\frac{GM}{l^2}\),

Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

\(u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}\)

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

\(r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}\),

kde

\(p = \frac{l^2}{GM}\)

\(\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}\).

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž \(p\) představuje parametr kuželosečky a \(\varepsilon\) její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Perioda oběhu po elipse

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita \(\varepsilon < 1\). V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

\(T=\frac{2\pi a b}{l}\),

kde \(a\) a \(b\) je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

\(2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}\),

dále pak dle definice výše

\(p=\frac{l^2}{GM}\)

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

\(b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}\).

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

\(T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}\)

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.

\(\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}\)

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Keplerova rovnice

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti \(\varphi\) na čase zkoumat závislost excentrické anomálie \(E\), která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

\(x=a\cos E-\varepsilon a\)

\(y=b\sin E\)

Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Keplerova_%C3%BAloha“