Hyperbola
Z Multimediaexpo.cz
.png)
Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek. Hyperbola také tvoří graf funkce \(y=1/x\) v kartézské soustavě souřadnic. Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.
Obsah |
Matematická vyjádření
Implicitní vyjádření
- \(\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!\)
Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek \(F_1\) a \(F_2\) konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.
Kartézský souřadnicový systém
Standardní popis hyperboly:
S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o1 - hlavní osa hyperboly
o2 - vedlejší osa hyperboly
p1, p2 - asymptoty hyperboly
\(|AS| = |SB| = a \,\!\) - délka hlavní poloosy
\(|CS| = |SD| = b \,\!\) - délka vedlejší poloosy
\(|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\!\) excentricita
\(|AB| = 2a \,\!\) - délka hlavní osy
\(|CD| = 2b \,\!\) - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole
Pokud \(a=b\), pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.
Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění
- Hlavní osa \(o_1\) hyperboly rovnoběžná s osou \(x\)
- Středová rovnice:
- \({(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!\)
- Obecná rovnice:
- \(Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!\)
- Rovnice asymptot:
- \(y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!\)
- Rovnice tečny v bodě \(T[x_0, y_0]\):
- \({(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!\)
- Hlavní osa \(o_1\) hyperboly rovnoběžná s osou \(y\)
- Středová rovnice:
- \({(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!\)
- Obecná rovnice:
- \(- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!\)
- Rovnice asymptot:
- \(y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!\)
- Rovnice tečny v bodě \(T[x_0, y_0]\):
- \({(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!\)
- Asymptoty \(p_1, p_2\) rovnoběžné s osami \(x\) a \(y\)
- Středová rovnice:
- \((x - m)(y - n) = c \,\!\)
- \(a = b = \sqrt{2|c|} \,\!\)
- \((x - m)(y - n) = c \,\!\)
- Obecná rovnice:
- \(xy + Ax + By + C = 0 \,\!\)
- Rovnice asymptot:
- \(x = m, y = n \,\!\)
Převedení obecné rovnice na středovou
Uspořádáme členy v rovnici.
- \(2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!\)
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme mínus.
- \(2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -{\left[(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}] = {17\over 4} \,\!\)
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
- \(2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!\)
- \(2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!\)
- \({(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!\)
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa \(o_1\) je rovnoběžná s osou \(x\).
\(S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!\), \(a = \sqrt{2} \,\!\), \(b = 2 \,\!\),
\(e = \sqrt{6} \,\!\), \(p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!\), \(p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!\)
Vzájemná poloha hyperboly a přímky
Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant \(D\) je:
- D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
- D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
- D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna
Vzájemná poloha hyperboly a bodu
Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:
- výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
- výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
- výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
Polární souřadnicový systém
Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
- \(r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!\)
Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:
- \(r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!\)
Související články
Externí odkazy
|
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |