Keplerova úloha

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla

Mějme tělesa o hmotnostech \(m_1\) a \(m_2\), velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem

\(F=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\),

kde \(G\) je gravitační konstanta a \(r\) vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

\(V=-\frac{G m_1 m_2}{r}\).

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

\(L=T-V=\frac{1}{2}m_1 \dot{\rm{x}}_1^2 + \frac{1}{2}m_2 \dot{\rm{x}}_2^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}_2-\rm{x}_1|}\),

kde \(\rm{x}_1\) a \(\rm{x}_2\) jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné

\(\rm{X}=\frac{m_1 \rm{x}_1 + m_2 \rm{x}_2}{m_1 + m_2}\),

\(\rm{x}=\rm{x}_1 - \rm{x}_2\),

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

\(L=\frac{1}{2}M \dot{\rm{X}}^2 + \frac{1}{2}\mu \dot{\rm{x}}^2 + \frac{G m_1 m_2}{|\rm{x}|}\),

Kde

\(M=m_1 + m_2\)

a

\(\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\).

Zde je zřejmé, že proměnná \(\rm{X}\) je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz \(M \dot{X}\) integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}\).

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že \(\theta =90\) a \(\dot{\theta}=0\), pak pro další časy \(\theta\) zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.

\(L= \frac{1}{2}\mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G m_1 m_2}{r}\).

Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):

\(L= \frac{1}{2} (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2)+\frac{G M}{r}\)

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

\(r^2 \dot{\varphi} = l\)

\(\ddot{r} = r \dot{\varphi}^2 -\frac{G M}{r^2} \)

Plocha opsaná průvodičem planety za stejný čas.

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě \(l\), druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna \(l/2\)). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou \(r\).

\(\ddot{r} =\frac{l^2}{r^3} -\frac{G M}{r^2} \)

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné \(u=\frac{1}{r}\), potom totiž máme:

\(\dot{r}= \frac{d}{dt} \frac{1}{u} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\varphi} \frac{d\varphi}{dt}=-l \frac{du}{d\varphi}\)

Označíme-li \(u'=\frac{du}{d\varphi}\), dostáváme

\(\ddot{r}=-l u \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u\).

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

\(u+u=\frac{GM}{l^2}\),

Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

\(u(\varphi) = A \cos (\varphi - \varphi_0) + \frac{GM}{l^2}\)

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

\(r = \frac{1}{\frac{GM}{l^2}+ A \cos (\varphi - \varphi_0)} = \frac{\frac{l^2}{GM}}{1+ A\frac{l^2}{GM} \cos (\varphi - \varphi_0)}=\frac{p}{1+ \varepsilon \cos (\varphi - \varphi_0)}\),

kde

\(p = \frac{l^2}{GM}\)

\(\varepsilon = A\frac{l^2}{GM}\).

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž \(p\) představuje parametr kuželosečky a \(\varepsilon\) její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Perioda oběhu po elipse

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita \(\varepsilon < 1\). V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

\(T=\frac{2\pi a b}{l}\),

kde \(a\) a \(b\) je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

\(2a = \frac{p}{1+\varepsilon} +\frac{p}{1-\varepsilon}= \frac{2p}{1-\varepsilon^2}\),

dále pak dle definice výše

\(p=\frac{l^2}{GM}\)

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

\(b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}\).

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

\(T= \frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2 \sqrt{1-\varepsilon^2}}{\sqrt{GMa(1-\varepsilon^2)}}=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}} a^{\frac{3}{2}}\)

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.

\(\frac{a^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}\)

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Keplerova rovnice

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti \(\varphi\) na čase zkoumat závislost excentrické anomálie \(E\), která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

\(x=a\cos E-\varepsilon a\)

\(y=b\sin E\)

Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.