dokončit zcela nový balíček 920 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...

Laminární proudění
Z Multimediaexpo.cz
m (1 revizi) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.) | |||
Řádka 7: | Řádka 7: | ||
===Rychlostní profil=== | ===Rychlostní profil=== | ||
[[Soubor:Laminarni_proudeni.png|400px|right|thumb|Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění]] | [[Soubor:Laminarni_proudeni.png|400px|right|thumb|Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění]] | ||
- | Uvažujme v trubici o [[poloměr]]u < | + | Uvažujme v trubici o [[poloměr]]u <big>\(r\)</big> malý [[válec]] kapaliny o poloměru <big>\(x\)</big> a [[délka|délce]] <big>\(\Delta l\)</big>. Na vstupní průřez tohoto válce působí [[tlak]] <big>\(p_1\)</big> a na výstupní průřez tlak <big>\(p_2\)</big>. Tlakový rozdíl na délce <big>\(\Delta l\)</big> má hodnotu <big>\(\Delta p=p_1-p_2\)</big>. [[Tlaková síla]], která na válec působí ve směru toku, je |
- | :< | + | :<big>\(F = \pi x^2\Delta p\)</big> |
Tato síla odpovídá [[odpor prostředí|odporu kapaliny]] proti [[proudění]]. Tento odpor je způsoben [[vnitřní tření|vnitřním tření]] mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako | Tato síla odpovídá [[odpor prostředí|odporu kapaliny]] proti [[proudění]]. Tento odpor je způsoben [[vnitřní tření|vnitřním tření]] mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako | ||
- | :< | + | :<big>\(F_t = 2\pi x\Delta l\tau\)</big>, |
- | kde < | + | kde <big>\(\tau\)</big> je [[tečné napětí]]. |
- | Při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] musí být < | + | Při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] musí být <big>\(F\)</big> a <big>\(F_t\)</big> v [[rovnováha sil|rovnováze]]. Z předchozích vztahů tedy dostaneme |
- | :< | + | :<big>\(\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\)</big> |
Odtud po úpravě a [[Integrál|integraci]] dostaneme pro '''rychlostní profil''' (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz | Odtud po úpravě a [[Integrál|integraci]] dostaneme pro '''rychlostní profil''' (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz | ||
- | :< | + | :<big>\(v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k\)</big>, |
- | kde < | + | kde <big>\(k\)</big> je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost [[nula|nulová]], tzn. <big>\(v=0\)</big> pro <big>\(x=r\)</big>. Po dosazení úpravě dostaneme |
- | :< | + | :<big>\(v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)\)</big> |
- | Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti < | + | Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti <big>\(v\)</big> na <big>\(x\)</big> (tedy na vzdálenosti od středu trubice) [[Parabola (matematika)|parabolická]]. |
===Hagen-Poiseuilleův zákon=== | ===Hagen-Poiseuilleův zákon=== | ||
- | Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat [[objemový tok]] < | + | Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat [[objemový tok]] <big>\(Q_v\)</big>. Rychlost <big>\(v\)</big> je v určité vzdálenosti <big>\(x\)</big> od osy trubice [[konstanta|konstantní]]. [[obsah|Plochou]] [[mezikruží]] ve vzdálenosti <big>\(x\)</big> a [[šířka|šířce]] <big>\(\mathrm{d}x\)</big> proteče za [[čas|časovou]] jednotku kapalina o [[objem|objemu]] |
- | :< | + | :<big>\(\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x\)</big> |
[[Integrál|Integrací]] přes celý průřez trubice dostaneme | [[Integrál|Integrací]] přes celý průřez trubice dostaneme | ||
- | :< | + | :<big>\(Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}\)</big> |
Tento vztah je [[matematika|matematickým]] vyjádřením tzv. '''Hagen-Poiseuilleova zákona''', který zní: | Tento vztah je [[matematika|matematickým]] vyjádřením tzv. '''Hagen-Poiseuilleova zákona''', který zní: | ||
- | :'''[[Objemový tok]] [[viskozní kapalina|viskozní tekutiny]] při laminárním proudění trubicí [[Kruh (geometrie)|kruhového]] průřezu je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[tlak|tlakovému]] spádu < | + | :'''[[Objemový tok]] [[viskozní kapalina|viskozní tekutiny]] při laminárním proudění trubicí [[Kruh (geometrie)|kruhového]] průřezu je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[tlak|tlakovému]] spádu <big>\(\frac{\Delta p}{\Delta l}\)</big> a čtvrté [[mocnina|mocnině]] [[poloměr|poloměru]] trubice a je [[nepřímá úměra|nepřímo úměrný]] [[dynamická viskozita|dynamické viskozitě]] <big>\(\eta\)</big>.''' |
===Maximální a průměrná rychlost proudění=== | ===Maximální a průměrná rychlost proudění=== | ||
Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu | Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu | ||
- | :< | + | :<big>\(v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2\)</big> |
- | a nachází se na ose trubice (< | + | a nachází se na ose trubice (<big>\(x=0\)</big>). |
- | Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového [[obsah|průřezu]] trubice (< | + | Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového [[obsah|průřezu]] trubice (<big>\(S=\pi r^2\)</big>), tzn. |
- | :< | + | :<big>\(v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}\)</big> |
==Vlastnosti== | ==Vlastnosti== | ||
Laminární proudění je [[vírové proudění|vírové]], neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se [[rotace|otáčet]]. [[vírové vlákno|Vírová vlákna]] mají tvar soustředných [[kružnice|kružnic]], jejichž středy leží na ose trubice. | Laminární proudění je [[vírové proudění|vírové]], neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se [[rotace|otáčet]]. [[vírové vlákno|Vírová vlákna]] mají tvar soustředných [[kružnice|kružnic]], jejichž středy leží na ose trubice. | ||
- | O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro [[potenciálové proudění]] po libovolné [[uzavřená křivka|uzavřené dráze]]. Zvolme dva body < | + | O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro [[potenciálové proudění]] po libovolné [[uzavřená křivka|uzavřené dráze]]. Zvolme dva body <big>\(A, B\)</big> na ose trubice ve vzdálenosti <big>\(s\)</big> a dva body <big>\(C, D\)</big> na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že <big>\(D\)</big> se nachází na stejném [[rovinný řez|řezu]] trubicí jako <big>\(A\)</big> a bod <big>\(C\)</big> se nachází na stejném řezu jako <big>\(B\)</big>. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je [[nula|nulová]] a mezi body <big>\(A,D\)</big> a <big>\(B,C\)</big> je vektor rychlosti [[kolmost|kolmý]] na dráhu, dostaneme |
- | :< | + | :<big>\(\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s\)</big> |
- | Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že < | + | Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že <big>\(\operatorname{rot}v\)</big> je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je [[vířivé proudění|proudění vířivé]]. |
- | Tlakový spád < | + | Tlakový spád <big>\(\frac{\Delta p}{\Delta l}\)</big> je mírou [[odpor prostředí|odporu]] kapaliny proti proudění, tzn. |
- | :< | + | :<big>\(F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s\)</big> |
Při malé rychlosti proudění kapaliny se [[vír|víry]] nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých [[vírové vlákno|vírových vláken]] ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v [[turbulentní proudění|proudění turbulentní]]. | Při malé rychlosti proudění kapaliny se [[vír|víry]] nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých [[vírové vlákno|vírových vláken]] ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v [[turbulentní proudění|proudění turbulentní]]. | ||
Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít [[Reynoldsovo číslo]]. | Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít [[Reynoldsovo číslo]]. |
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity. Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové. Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.
Obsah[skrýt] |
Ustálené proudění v úzké trubici
Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.
Rychlostní profil
Uvažujme v trubici o poloměru
Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako
,
kde
Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz
,
kde
Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti
Hagen-Poiseuilleův zákon
Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok
Integrací přes celý průřez trubice dostaneme
Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:
- Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu
a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě .
Maximální a průměrná rychlost proudění
Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu
a nachází se na ose trubice (
Vlastnosti
Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice.
O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body
Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že
Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní. Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.
Související články
Externí odkazy
- Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)
[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|