Laminární proudění

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Laminární proudění (na obrázku dole) a turbulentní proudění (nahoře) kolem trupu ponorky

Laminární proudění je takové proudění vazké kapaliny, při kterém jsou proudnice rovnoběžné a nemísí se. Částice kapaliny se pohybují vedle sebe jakoby ve vrstvách - „destičkách“ (destička = lat. lamina), které se vzájemně nepromíchávají. Odtud také laminární neboli vrstevnaté proudění. Mezi jednotlivými vrstvami se předpokládá existence vnitřního tření a platnost vztahu Newtonova zákona viskozity. Laminární proudění je tedy proudění kapaliny s vnitřním třením, které není potenciálové. Laminární proudění lze použít jako vhodnou aproximaci proudění reálných kapalin při malých rychlostech.

Obsah

[skrýt]

1 Ustálené proudění v úzké trubici
2 Vlastnosti
3 Související články
4 Externí odkazy

Ustálené proudění v úzké trubici

Proudění vazké kapaliny v úzké trubici lze při nízkých rychlostech považovat za laminární.

Rychlostní profil

Soubor:Laminarni proudeni.png

Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění

Uvažujme v trubici o poloměru $r$ malý válec kapaliny o poloměru $x$ a délce $Δ l$ . Na vstupní průřez tohoto válce působí tlak $p_{1}$ a na výstupní průřez tlak $p_{2}$ . Tlakový rozdíl na délce $Δ l$ má hodnotu $Δ p = p_{1} - p_{2}$ . Tlaková síla, která na válec působí ve směru toku, je

F = π x^{2} Δ p

Tato síla odpovídá odporu kapaliny proti proudění. Tento odpor je způsoben vnitřním tření mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako

F_{t} = 2 π x Δ l τ

,

kde $τ$ je tečné napětí. Při ustáleném proudění musí být $F$ a $F_{t}$ v rovnováze. Z předchozích vztahů tedy dostaneme

π x^{2} Δ p = - π x Δ l η \frac{d v}{d x}

Odtud po úpravě a integraci dostaneme pro rychlostní profil (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz

v = - \frac{1}{4 η} \frac{Δ p}{Δ l} x^{2} + k

,

kde $k$ je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost nulová, tzn. $v = 0$ pro $x = r$ . Po dosazení úpravě dostaneme

v = \frac{1}{4 η} \frac{d p}{d l} (r^{2} - x^{2})

Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti $v$ na $x$ (tedy na vzdálenosti od středu trubice) parabolická.

Hagen-Poiseuilleův zákon

Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat objemový tok $Q_{v}$ . Rychlost $v$ je v určité vzdálenosti $x$ od osy trubice konstantní. Plochou mezikruží ve vzdálenosti $x$ a šířce $d x$ proteče za časovou jednotku kapalina o objemu

d Q_{v} = 2 π x v d x = \frac{π}{2 η} \frac{Δ p}{Δ l} (r^{2} - x^{2}) x d x

Integrací přes celý průřez trubice dostaneme

Q_{v} = \frac{π r^{4}}{8 η} \frac{Δ p}{Δ l}

Tento vztah je matematickým vyjádřením tzv. Hagen-Poiseuilleova zákona, který zní:

Objemový tok viskozní tekutiny při laminárním proudění trubicí kruhového průřezu je přímo úměrný tlakovému spádu $\frac{Δ p}{Δ l}$ a čtvrté mocnině poloměru trubice a je nepřímo úměrný dynamické viskozitě $η$ .

Maximální a průměrná rychlost proudění

Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu

v_{max} = \frac{1}{4 η} \frac{Δ p}{Δ l} r^{2}

a nachází se na ose trubice ( $x = 0$ ). Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového průřezu trubice ( $S = π r^{2}$ ), tzn.

v_{s} = \frac{Q_{v}}{S} = \frac{1}{8 η} \frac{Δ p}{Δ l} r^{2} = \frac{1}{2} v_{max}

Vlastnosti

Laminární proudění je vírové, neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se otáčet. Vírová vlákna mají tvar soustředných kružnic, jejichž středy leží na ose trubice. O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro potenciálové proudění po libovolné uzavřené dráze. Zvolme dva body $A, B$ na ose trubice ve vzdálenosti $s$ a dva body $C, D$ na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že $D$ se nachází na stejném řezu trubicí jako $A$ a bod $C$ se nachází na stejném řezu jako $B$ . Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je nulová a mezi body $A, D$ a $B, C$ je vektor rychlosti kolmý na dráhu, dostaneme

\oint v d s = \int_{A}^{B} v d s = v_{max} s

Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že $rot v$ je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je proudění vířivé. Tlakový spád $\frac{Δ p}{Δ l}$ je mírou odporu kapaliny proti proudění, tzn.

F \sim \frac{Δ p}{Δ l} \sim v_{s}

Při malé rychlosti proudění kapaliny se víry nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých vírových vláken ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v proudění turbulentní. Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít Reynoldsovo číslo.

Související články

Externí odkazy

Laminární proudění na přepadu přehrady (youtube.com)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 7: / Řádka 7: @@
 ===Rychlostní profil===
 [[Soubor:Laminarni_proudeni.png|400px|right|thumb|Schéma k výpočtu rychlosti laminárního proudění]]
-Uvažujme v trubici o [[poloměr]]u <math>r</math> malý [[válec]] kapaliny o poloměru <math>x</math> a [[délka|délce]] <math>\Delta l</math>. Na vstupní průřez tohoto válce působí [[tlak]] <math>p_1</math> a na výstupní průřez tlak <math>p_2</math>. Tlakový rozdíl na délce <math>\Delta l</math> má hodnotu <math>\Delta p=p_1-p_2</math>. [[Tlaková síla]], která na válec působí ve směru toku, je
+Uvažujme v trubici o [[poloměr]]u <big>\(r\)</big> malý [[válec]] kapaliny o poloměru <big>\(x\)</big> a [[délka|délce]] <big>\(\Delta l\)</big>. Na vstupní průřez tohoto válce působí [[tlak]] <big>\(p_1\)</big> a na výstupní průřez tlak <big>\(p_2\)</big>. Tlakový rozdíl na délce <big>\(\Delta l\)</big> má hodnotu <big>\(\Delta p=p_1-p_2\)</big>. [[Tlaková síla]], která na válec působí ve směru toku, je
-:<math>F = \pi x^2\Delta p</math>
+:<big>\(F = \pi x^2\Delta p\)</big>
 Tato síla odpovídá [[odpor prostředí|odporu kapaliny]] proti [[proudění]]. Tento odpor je způsoben [[vnitřní tření|vnitřním tření]] mezi pláštěm válce a kapalinou, která jej obklopuje, přičemž jej lze vyjádřit jako
-:<math>F_t = 2\pi x\Delta l\tau</math>,
+:<big>\(F_t = 2\pi x\Delta l\tau\)</big>,
-kde <math>\tau</math> je [[tečné napětí]].
+kde <big>\(\tau\)</big> je [[tečné napětí]].
-Při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] musí být <math>F</math> a <math>F_t</math> v [[rovnováha sil|rovnováze]]. Z předchozích vztahů tedy dostaneme
+Při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] musí být <big>\(F\)</big> a <big>\(F_t\)</big> v [[rovnováha sil|rovnováze]]. Z předchozích vztahů tedy dostaneme
-:<math>\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}</math>
+:<big>\(\pi x^2\Delta p = -\pi x\Delta l\eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\)</big>
 Odtud po úpravě a [[Integrál|integraci]] dostaneme pro '''rychlostní profil''' (tedy rozložení rychlostí v trubici) výraz
-:<math>v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k</math>,
+:<big>\(v = -\frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}x^2 + k\)</big>,
-kde <math>k</math> je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost [[nula|nulová]], tzn. <math>v=0</math> pro <math>x=r</math>. Po dosazení úpravě dostaneme
+kde <big>\(k\)</big> je integrační konstanta, kterou určíme z podmínky, že na vnitřní straně trubice je rychlost [[nula|nulová]], tzn. <big>\(v=0\)</big> pro <big>\(x=r\)</big>. Po dosazení úpravě dostaneme
-:<math>v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)</math>
+:<big>\(v = \frac{1}{4\eta}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}l}(r^2-x^2)\)</big>
-Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti <math>v</math> na <math>x</math> (tedy na vzdálenosti od středu trubice) [[Parabola (matematika)|parabolická]].
+Podle tohoto vztahu je tedy závislost rychlosti <big>\(v\)</big> na <big>\(x\)</big> (tedy na vzdálenosti od středu trubice) [[Parabola (matematika)|parabolická]].
 ===Hagen-Poiseuilleův zákon===
-Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat [[objemový tok]] <math>Q_v</math>. Rychlost <math>v</math> je v určité vzdálenosti <math>x</math> od osy trubice [[konstanta|konstantní]]. [[obsah|Plochou]] [[mezikruží]] ve vzdálenosti <math>x</math> a [[šířka|šířce]] <math>\mathrm{d}x</math> proteče za [[čas|časovou]] jednotku kapalina o [[objem|objemu]]
+Ze znalosti rozložení rychlostí je možné spočítat [[objemový tok]] <big>\(Q_v\)</big>. Rychlost <big>\(v\)</big> je v určité vzdálenosti <big>\(x\)</big> od osy trubice [[konstanta|konstantní]]. [[obsah|Plochou]] [[mezikruží]] ve vzdálenosti <big>\(x\)</big> a [[šířka|šířce]] <big>\(\mathrm{d}x\)</big> proteče za [[čas|časovou]] jednotku kapalina o [[objem|objemu]]
-:<math>\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x</math>
+:<big>\(\mathrm{d}Q_v = 2\pi xv\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}(r^2-x^2)x\mathrm{d}x\)</big>
 [[Integrál|Integrací]] přes celý průřez trubice dostaneme
-:<math>Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}</math>
+:<big>\(Q_v = \frac{\pi r^4}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}\)</big>
 Tento vztah je [[matematika|matematickým]] vyjádřením tzv. '''Hagen-Poiseuilleova zákona''', který zní:
-:'''[[Objemový tok]] [[viskozní kapalina|viskozní tekutiny]] při laminárním proudění trubicí [[Kruh (geometrie)|kruhového]] průřezu je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[tlak|tlakovému]] spádu <math>\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> a čtvrté [[mocnina|mocnině]] [[poloměr|poloměru]] trubice a je [[nepřímá úměra|nepřímo úměrný]] [[dynamická viskozita|dynamické viskozitě]] <math>\eta</math>.'''
+:'''[[Objemový tok]] [[viskozní kapalina|viskozní tekutiny]] při laminárním proudění trubicí [[Kruh (geometrie)|kruhového]] průřezu je [[přímá úměra|přímo úměrný]] [[tlak|tlakovému]] spádu <big>\(\frac{\Delta p}{\Delta l}\)</big> a čtvrté [[mocnina|mocnině]] [[poloměr|poloměru]] trubice a je [[nepřímá úměra|nepřímo úměrný]] [[dynamická viskozita|dynamické viskozitě]] <big>\(\eta\)</big>.'''
 ===Maximální a průměrná rychlost proudění===
 Maximální rychlost, kterou se tekutina při laminárním proudění trubicí pohybuje má hodnotu
-:<math>v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2</math>
+:<big>\(v_\mbox{max} = \frac{1}{4\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2\)</big>
-a nachází se na ose trubice (<math>x=0</math>).
+a nachází se na ose trubice (<big>\(x=0\)</big>).
-Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového [[obsah|průřezu]] trubice (<math>S=\pi r^2</math>), tzn.
+Průměrnou rychlost, kterou kapalina protéká trubicí při laminárním proudění můžeme určit jako podíl objemového toku a celkového [[obsah|průřezu]] trubice (<big>\(S=\pi r^2\)</big>), tzn.
-:<math>v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}</math>
+:<big>\(v_s = \frac{Q_v}{S} = \frac{1}{8\eta}\frac{\Delta p}{\Delta l}r^2 = \frac{1}{2}v_\mbox{max}\)</big>
 ==Vlastnosti==
 Laminární proudění je [[vírové proudění|vírové]], neboť část kapaliny, která se nachází mezi dvěma vrstvami s různými rychlostmi má tendenci se [[rotace|otáčet]]. [[vírové vlákno|Vírová vlákna]] mají tvar soustředných [[kružnice|kružnic]], jejichž středy leží na ose trubice.
-O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro [[potenciálové proudění]] po libovolné [[uzavřená křivka|uzavřené dráze]]. Zvolme dva body <math>A, B</math> na ose trubice ve vzdálenosti <math>s</math> a dva body <math>C, D</math> na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že <math>D</math> se nachází na stejném [[rovinný řez|řezu]] trubicí jako <math>A</math> a bod <math>C</math> se nachází na stejném řezu jako <math>B</math>. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je [[nula|nulová]] a mezi body <math>A,D</math> a <math>B,C</math> je vektor rychlosti [[kolmost|kolmý]] na dráhu, dostaneme
+O vírové povaze laminárního proudění se lze přesvědčit výpočtem podmínky pro [[potenciálové proudění]] po libovolné [[uzavřená křivka|uzavřené dráze]]. Zvolme dva body <big>\(A, B\)</big> na ose trubice ve vzdálenosti <big>\(s\)</big> a dva body <big>\(C, D\)</big> na okraji trubice ve stejné vzdálenosti, a to tak, že <big>\(D\)</big> se nachází na stejném [[rovinný řez|řezu]] trubicí jako <big>\(A\)</big> a bod <big>\(C\)</big> se nachází na stejném řezu jako <big>\(B\)</big>. Vzhledem k tomu, že rychlost na okraji trubice je [[nula|nulová]] a mezi body <big>\(A,D\)</big> a <big>\(B,C\)</big> je vektor rychlosti [[kolmost|kolmý]] na dráhu, dostaneme
-:<math>\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s</math>
+:<big>\(\oint v\mathrm{d}s = \int_A^B v\mathrm{d}s = v_\mbox{max}s\)</big>
-Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že <math>\operatorname{rot}v</math> je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je [[vířivé proudění|proudění vířivé]].
+Podobně lze zjistit, že pro jakoukoli jinou uzavřenou dráhu (která není souměrná podle osy trubce) by uvedený integrál byl nenulový. To znamená, že proudění není potenciálové a také, že <big>\(\operatorname{rot}v\)</big> je různé od nuly. Jednotlivé částice kapaliny mají tedy snahu se otáčet, a proto je [[vířivé proudění|proudění vířivé]].
-Tlakový spád <math>\frac{\Delta p}{\Delta l}</math> je mírou [[odpor prostředí|odporu]] kapaliny proti proudění, tzn.
+Tlakový spád <big>\(\frac{\Delta p}{\Delta l}\)</big> je mírou [[odpor prostředí|odporu]] kapaliny proti proudění, tzn.
-:<math>F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s</math>
+:<big>\(F\sim\frac{\Delta p}{\Delta l}\sim v_s\)</big>
 Při malé rychlosti proudění kapaliny se [[vír|víry]] nemohou výrazně rozvinout a proudění probíhá tak, jako by se skládalo z nekonečně tenkých [[vírové vlákno|vírových vláken]] ve tvaru koncentrických kružnic. Při zvýšení rychlosti proudění však víry začnou proudění ovlivňovat výrazně a laminární proudění přejde v [[turbulentní proudění|proudění turbulentní]].
 Jako kritérium pro odlišení laminárního proudění od proudění turbulentního lze použít [[Reynoldsovo číslo]].