The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Gaussův integrál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Gaussův integrál|700}}
+
[[Soubor:E^(-x^2).png|thumb|310px|Graf ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> a plochy mezi funkcí a osou ''x''; tato plocha se rovná <big>\( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)</big>]]
 +
'''Gaussův integrál''', také známý jako '''Eulerův-Poissonův integrál''' či '''Poissonův integrál''',<ref>[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00063/81000.htm Пуассона интеграл], БСЭ</ref> je [[integrál]] [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> přes celou reálnou osu, tedy
 +
 +
:<big>\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)</big>
 +
 +
Jména tomuto integrálu dali matematici  [[Carl Friedrich Gauss]], [[Leonhard Euler]] a [[Siméon Denis Poisson]].
 +
 +
== Výpočet ==
 +
Integrál [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] označíme <big>\(Y\)</big>.
 +
:<big>\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)</big>
 +
 +
Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme <big>\(y\)</big>.
 +
:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)</big>
 +
 +
Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.
 +
 +
:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)</big>
 +
 +
[[Graf funkce|Graf]] této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu [[Říp]]) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi <big>\((x,y)\)</big>. Integrál představuje [[objem]] kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu [[polární soustava souřadnic]] <big>\((\varphi,r)\)</big>, do kterých funkci přepíšeme.
 +
 +
:<big>\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)</big>
 +
Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou [[per partes]] a jeho hodnota je <big>\(\pi\)</big>. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.
 +
:<big>\(Y = \sqrt{\pi}\)</big>
 +
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
== Externí odkazy ==
 +
* Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Graf ƒ(x) = e−x2 a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná \( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce e−x2 přes celou reálnou osu, tedy

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme \(Y\).

\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme \(y\).

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi \((x,y)\). Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic \((\varphi,r)\), do kterých funkci přepíšeme.

\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)

Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou per partes a jeho hodnota je \(\pi\). Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

\(Y = \sqrt{\pi}\)

Reference

  1. ↑ Пуассона интеграл, БСЭ

Externí odkazy

  • Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika


Citováno z „http://ww.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gauss%C5%AFv_integr%C3%A1l“